State-Transition Matrix क्या है? और इसका Control Systems में Role


State-Transition Matrix क्या है? और इसका Control Systems में Role

Control Systems में जब हम किसी system का behavior समय के साथ समझना चाहते हैं, तो हमें एक ऐसे mathematical tool की ज़रूरत होती है जो state variables का time-dependent solution दे सके। State-Transition Matrix इसी काम में आती है।

📘 State-Transition Matrix क्या होती है?

State-Transition Matrix को आम तौर पर Φ(t) या eAt से दर्शाया जाता है। यह matrix बताती है कि initial state x(0) समय के साथ कैसे change होकर x(t) बनती है।

🧮 Formula:

x(t) = Φ(t)·x(0) + ∫₀ᵗ Φ(t - τ)·B·u(τ)dτ

जहाँ Φ(t) = eAt और A matrix system के dynamics को दर्शाती है।

🛠️ उपयोग (Applications)

  • System behavior prediction
  • Stability analysis
  • Control system design
  • Time response evaluation

📊 Matrix Derivation Example

मान लीजिए A = [[0 1], [-2 -3]], तो Φ(t) को find करने के लिए matrix exponential eAt निकालना होता है। इसके लिए Laplace transform और inverse Laplace method इस्तेमाल किया जाता है।

❓ FAQs

Q. क्या State-Transition Matrix केवल linear systems के लिए होती है?
👉 हां, यह मुख्यतः linear time-invariant (LTI) systems के लिए उपयोगी होती है।

Q. इसे practically कहाँ apply किया जाता है?
👉 Robotics, Aircraft navigation, Power systems आदि में।

🔚 निष्कर्ष

State-Transition Matrix control systems का core concept है जो हमें initial state से final state तक की journey को mathematically analyze करने में मदद करता है।

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