Impulse Response of DT-LTI System और इसकी Properties | हिंदी में समझें


Impulse Response क्या होता है?

Impulse Response, किसी Discrete-Time LTI (DT-LTI) सिस्टम का output होता है जब input एक unit impulse signal होता है।

Discrete-time में impulse signal को δ[n] और output को h[n] से दर्शाते हैं।

Impulse Signal (δ[n])

  • δ[n] = 1, जब n = 0
  • δ[n] = 0, जब n ≠ 0

जब हम δ[n] को input में देते हैं, तो system जो output देता है, वही impulse response होता है।

Convolution से Output निकालना

Impulse response से किसी arbitrary input x[n] का output y[n] इस प्रकार से निकाला जाता है:

y[n] = x[n] * h[n] = Σ x[k]·h[n–k]

यह convolution sum कहलाता है।

Impulse Response की Properties

  1. Linearity: LTI system linear होता है, इसलिए multiple inputs के linear combination का output भी linear combination होगा।
  2. Time-Invariance: यदि input signal को shift किया जाए, तो output भी उतना ही shift होता है।
  3. Causality: अगर h[n] = 0 for n < 0, तो system causal है यानी output सिर्फ present और past inputs पर depend करता है।
  4. Stability (BIBO): यदि Σ |h[n]| < ∞ हो, तो system stable है।
  5. Memory: यदि h[n] सिर्फ n = 0 पर defined है, तो system memoryless है। अन्यथा system में memory होती है।

Example:

मान लीजिए h[n] = (1/2)n·u[n]

  • यह causal है क्योंकि n < 0 पर zero है
  • Stable है क्योंकि geometric series की sum finite है
  • Memory वाला है क्योंकि यह past input पर depend करता है

Impulse Response से System Analysis

  • System की पूरी behavior impulse response h[n] से पता लगाई जा सकती है
  • Convolution द्वारा किसी भी input के लिए output निकाला जा सकता है
  • FIR/IIR सिस्टम को impulse response से classify किया जा सकता है

निष्कर्ष (Conclusion)

Impulse response किसी भी DT-LTI system का सबसे important characterization है। इसकी properties से हम system की stability, causality, और memory का निर्धारण कर सकते हैं।

Convolution की सहायता से input-output relationship को आसानी से समझा जा सकता है।

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