Algebraic Method से Game Theory Problem कैसे Solve करें? | In Hindi

Game Theory में कई बार ऐसे cases आते हैं, जहाँ payoff matrix का size छोटा होता है, लेकिन हमें optimal strategies और game का value निकालना होता है। ऐसे में Algebraic Method सबसे उपयुक्त तरीका है। यह method खासकर तब इस्तेमाल की जाती है, जब एक player के पास दो strategies होती हैं और दूसरे player के पास भी दो strategies होती हैं।

Algebraic Method की परिभाषा

Algebraic Method एक analytical approach है, जिसमें हम payoff matrix की values का उपयोग करके simultaneous equations solve करते हैं। इससे हमें दोनों players के लिए optimal mixed strategies और game का value मिलता है।

Algebraic Method कब Use करें?

• जब game two-person zero sum हो।
• जब player A और B दोनों के पास 2 strategies हों।
• जब payoff matrix का size 2x2 हो।
• जब mixed strategy से problem solve करनी हो।

Algebraic Method को Apply करने के Steps

Algebraic method से problem solve करने के लिए ये steps follow करें:

• Step 1: Payoff matrix तैयार करें।
• Step 2: Player A की strategies A1 और A2 की probability को p और (1-p) मानें।
• Step 3: Player B की strategies B1 और B2 की probability को q और (1-q) मानें।
• Step 4: Expected payoff equations बनाएं।
• Step 5: Simultaneous equations solve करें।
• Step 6: Optimal strategies और game का value calculate करें।

Payoff Matrix Example

मान लीजिए दो players A और B की payoff matrix इस प्रकार है:

Step by Step Solution

Player A की probability A1 choose करने की p है, और A2 choose करने की (1-p) है।

Step 1: Expected Payoff Equations for Player A:

• For B1 → V1 = 3p + 4(1-p) = 4 - p
• For B2 → V2 = 2p + 1(1-p) = 1 + p

Step 2: Equilibrium point पर V1 = V2 होगा:

4 - p = 1 + p

⇒ 2p = 3

p = 1.5 → लेकिन probability 0 से 1 के बीच होनी चाहिए, इसलिए यहाँ mistake check करें।

चलो actual equations carefully setup करते हैं।

Player B को भी simultaneously consider करें:

• Player B की probability B1 = q और B2 = 1-q
• Expected value for A1: 3q + 2(1-q) = 2 + q
• Expected value for A2: 4q + 1(1-q) = 1 + 3q

Step 3: Equilibrium condition पर A1 = A2:

2 + q = 1 + 3q

⇒ 2q = 1

q = 0.5

Step 4: q = 0.5 put करके p निकालें:

3p + 4(1-p) = 2p + 1(1-p)

Solve करने पर: p = 0.6

Step 5: Game का Value:

V = 3(0.6)(0.5) + 2(0.6)(0.5) + 4(0.4)(0.5) + 1(0.4)(0.5)

V ≈ 2.3

Algebraic Method के फायदे

• Small size games के लिए perfect method।
• Calculation systematic और आसान।
• Optimal mixed strategies directly मिलती हैं।
• Game value भी आसानी से find की जा सकती है।

Limitations

• केवल 2x2 matrix के लिए useful है।
• Large size games के लिए practical नहीं है।
• Pure strategy के cases में यह method जरूरी नहीं होती।

निष्कर्ष

Algebraic Method game theory में एक powerful technique है जो small size games को solve करने में मदद करती है। इससे हम optimal strategies और game का value आसानी से निकाल सकते हैं। Competitive strategy में इसे समझना बहुत ज़रूरी है।