डिजिटल हस्ताक्षर और एलगामल डिजिटल सिग्नेचर स्कीम क्रिप्टोग्राफी में

परिचय:

डिजिटल हस्ताक्षर (Digital Signature) क्रिप्टोग्राफी की एक ऐसी तकनीक है जो यह सुनिश्चित करती है कि कोई संदेश या दस्तावेज़ असली (Authentic) है, अपरिवर्तित (Unmodified) है, और वास्तव में उसी व्यक्ति द्वारा भेजा गया है जिसने दावा किया है।

यह डिजिटल दुनिया में हस्ताक्षर का इलेक्ट्रॉनिक रूप है — जैसे कागज़ पर किसी का हस्ताक्षर, उसी तरह यह इलेक्ट्रॉनिक डेटा पर किया गया क्रिप्टोग्राफिक हस्ताक्षर होता है।

डिजिटल हस्ताक्षर का उद्देश्य:

• Authentication: भेजने वाले की पहचान सत्यापित करना।
• Integrity: संदेश में कोई बदलाव न हुआ हो यह सुनिश्चित करना।
• Non-Repudiation: प्रेषक (Sender) बाद में संदेश भेजने से इनकार न कर सके।

डिजिटल हस्ताक्षर की आवश्यकता:

• ऑनलाइन ट्रांजैक्शन और ई-मेल सत्यापन।
• कॉन्ट्रैक्ट या कानूनी दस्तावेज़ों में विश्वसनीयता।
• Software Distribution या Code Signing।
• Blockchain और E-Governance में सुरक्षा।

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डिजिटल हस्ताक्षर की कार्यप्रणाली:

डिजिटल सिग्नेचर आमतौर पर Asymmetric Key Cryptography पर आधारित होता है जिसमें दो कुंजियाँ होती हैं — Private Key (गुप्त) और Public Key (सार्वजनिक)।

1️⃣ हस्ताक्षर बनाना (Signing Process):

1. Sender अपने संदेश पर Hash Function लागू करता है — जिससे एक Fixed Size Hash Value प्राप्त होती है।
2. इस Hash को Sender अपनी Private Key से एन्क्रिप्ट करता है।
3. एन्क्रिप्टेड Hash ही Digital Signature कहलाता है।

2️⃣ हस्ताक्षर सत्यापन (Verification Process):

1. Receiver, संदेश पर वही Hash Function लागू करता है और एक नया Hash Value बनाता है।
2. Receiver, प्रेषक की Public Key से डिजिटल सिग्नेचर को डिक्रिप्ट करता है।
3. यदि दोनों Hash समान हैं, तो हस्ताक्षर Valid है और संदेश Authentic है।

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डिजिटल हस्ताक्षर एल्गोरिद्म के प्रकार:

• RSA Digital Signature Algorithm
• ElGamal Digital Signature Scheme
• DSA (Digital Signature Algorithm)
• ECDSA (Elliptic Curve DSA)

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ElGamal Digital Signature Scheme:

ElGamal Digital Signature Scheme एक Public Key आधारित क्रिप्टोग्राफिक एल्गोरिद्म है जो ElGamal Encryption System पर आधारित है। इसे 1985 में Taher ElGamal ने प्रस्तावित किया था।

गणितीय आधार:

यह एल्गोरिद्म Discrete Logarithm Problem (DLP) पर आधारित है, जो गणनात्मक रूप से बहुत कठिन है।

कुंजी निर्माण प्रक्रिया:

1. एक बड़ा Prime Number p और उसका Primitive Root g चुना जाता है।
2. एक Private Key x चुनी जाती है जहाँ (1 < x < p−1)।
3. Public Key की गणना की जाती है: y = g^x mod p
4. Public Key = (p, g, y), Private Key = x

हस्ताक्षर प्रक्रिया (Signing):

1. Sender एक Random Integer k चुनता है जहाँ gcd(k, p−1) = 1।
2. r = g^k mod p की गणना करें।
3. संदेश का Hash H(M) निकालें।
4. s = (H(M) − x*r) * k⁻¹ mod (p−1)
5. Signature = (r, s)

सत्यापन प्रक्रिया (Verification):

1. Receiver संदेश M, Signature (r, s), और Public Key (p, g, y) प्राप्त करता है।
2. वह जाँच करता है कि:

   ( y^r * r^s ) mod p = g^{H(M)} mod p
   

3. यदि दोनों पक्ष समान हैं, तो Signature मान्य है।

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उदाहरण:

मान लें:

• p = 23, g = 5
• Private Key x = 6 → Public Key y = 5^6 mod 23 = 8
• Message M = 10, Random k = 3
• r = 5^3 mod 23 = 10
• s = (10 − 6×10) × 3⁻¹ mod 22 = (−50) × 15 mod 22 = 20
• Signature = (r=10, s=20)

Receiver चेक करेगा: (8^10 × 10^20) mod 23 = g^{10} mod 23 ✅

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ElGamal Signature की विशेषताएँ:

• Discrete Logarithm Problem पर आधारित उच्च सुरक्षा।
• Authentication और Integrity दोनों प्रदान करता है।
• Dynamic Keys के कारण Reusability नहीं होती।

ElGamal की सीमाएँ:

• गणना जटिल (Computationally Expensive)।
• Signature Size बड़ा।
• Random k के पुन: उपयोग से सुरक्षा खतरा।

वास्तविक जीवन उपयोग:

• PGP (Pretty Good Privacy) Encryption System
• Digital Certificates
• Blockchain Systems
• Electronic Voting Systems
• Secure Email Applications

निष्कर्ष:

डिजिटल हस्ताक्षर आधुनिक सूचना सुरक्षा का आधार हैं। ElGamal Digital Signature Scheme एक मजबूत गणितीय आधार प्रदान करती है और Authentication, Integrity, तथा Non-repudiation को सुनिश्चित करती है। यह डिजिटल विश्व में विश्वसनीयता और सुरक्षा की रीढ़ है।