Moment of Momentum Equation क्या है? | Vane Forces & Applications in Hindi

Moment of Momentum Equation fluid mechanics का एक महत्वपूर्ण सिद्धांत है जो किसी fluid particle या stream में angular momentum के परिवर्तन और उस पर लगने वाले torque के बीच संबंध बताता है। यह principle खासकर turbomachinery (जैसे turbine, pump, impeller, और vane system) में force और power calculations के लिए उपयोग किया जाता है।

1. Concept of Moment of Momentum

जैसे linear momentum equation से हम linear forces निकालते हैं, वैसे ही Moment of Momentum Equation से हम fluid के rotational या angular motion से संबंधित torque और forces निकालते हैं।

यह equation कहती है कि किसी control volume में fluid के angular momentum का rate of change, उस पर लगने वाले external torque के बराबर होता है।

2. Mathematical Form

Mathematically इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ΣT = ṁ (V_θ2r₂ - V_θ1r₁)

जहाँ:

• ΣT = Net torque on the system
• ṁ = Mass flow rate (kg/s)
• V_θ = Tangential component of velocity
• r = Radius from the axis of rotation

3. Physical Meaning

यह equation यह दर्शाती है कि किसी fluid का tangential velocity component और उसके rotational radius का गुणनफल (V_θr) जितना बदलता है, उतना ही torque develop होता है।

Torque की दिशा और magnitude fluid के entry और exit velocities पर निर्भर करते हैं।

4. Application in Hydraulic Machines

Moment of Momentum principle का उपयोग मुख्य रूप से turbines और pumps में किया जाता है।

• Turbines: Fluid energy mechanical shaft work में बदलती है। Equation से shaft torque और power calculate किया जाता है।
• Pumps: Mechanical energy fluid को दी जाती है। Impeller design और outlet vane angle इस principle से निर्धारित किए जाते हैं।
• Pelton wheel, Francis turbine और Kaplan turbine जैसे machines में यह fundamental governing equation होती है।

5. Vane Forces (Force on Blades)

जब fluid किसी vane (blade) से टकराता है या मुड़ता है, तो उसके momentum में परिवर्तन होता है। इस change के कारण blade पर एक reaction force लगता है।

Force (F) का निर्धारण momentum equation से किया जाता है:

F = ṁ (V₂ - V₁)

यदि fluid का motion circular हो, तो tangential और radial components अलग-अलग लिए जाते हैं:

• Tangential Force (F_θ): ṁ (V_θ1 - V_θ2)
• Radial Force (F_r): ṁ (V_r2 - V_r1)

6. Torque और Power Calculation

Fluid द्वारा shaft पर उत्पन्न torque:

T = ṁ (V_θ2r₂ - V_θ1r₁)

और power होगी:

Power = T × ω = ṁ (V_θ2r₂ - V_θ1r₁) × ω

जहाँ ω = angular velocity (rad/s)

7. Significance of Moment of Momentum Equation

• Fluid machines के design में torque और power estimation के लिए सबसे महत्वपूर्ण equation है।
• Impeller, rotor, turbine vane angles और efficiency calculation में उपयोग होती है।
• यह rotational fluid motion के dynamics को समझने में मदद करती है।

8. Practical Example

मान लीजिए किसी turbine blade पर fluid velocity का tangential component entry पर 30 m/s और exit पर 10 m/s है तथा radius 0.4 m है। Mass flow rate 5 kg/s है।

तब torque होगा:

T = 5 × (10×0.4 - 30×0.4) = -40 N·m

Negative sign दर्शाता है कि torque की दिशा विपरीत है (reaction torque)।

9. निष्कर्ष (Conclusion)

Moment of Momentum Equation fluid motion के rotational behavior को quantify करने वाली fundamental relation है। यह बताती है कि angular momentum के परिवर्तन से torque और power कैसे उत्पन्न होते हैं।

इसका उपयोग hydraulic turbines, pumps, blowers, vanes, impellers आदि में design, performance analysis और energy transfer calculation के लिए किया जाता है।