Bernoulli’s Equation कैसे Derive होती है? | Bernoulli Theorem Explained in Hindi

Fluid Mechanics में Bernoulli’s Equation एक बहुत ही महत्वपूर्ण concept है, जो energy conservation के principle पर आधारित है। यह equation fluid flow के दौरान pressure, velocity, और elevation (height) के बीच संबंध बताती है। इस theorem को 1738 में Daniel Bernoulli ने develop किया था।

1. Bernoulli’s Theorem का Basic Concept

Bernoulli’s theorem यह कहता है कि – “In steady, incompressible, and frictionless flow, the total energy per unit weight of the fluid remains constant along a streamline.”

यानि कि किसी streamline पर flow करते हुए fluid particle की total energy (Pressure head + Kinetic head + Potential head) constant रहती है।

2. Bernoulli’s Equation के Components

Total energy head को तीन भागों में बाँटा जा सकता है:

• Pressure Head (P/ρg): Fluid पर लगा हुआ pressure energy को दर्शाता है।
• Kinetic Head (V²/2g): Fluid की velocity से जुड़ी kinetic energy per unit weight।
• Potential Head (z): Elevation या height से जुड़ी potential energy।

3. Bernoulli’s Equation की Derivation

Derivation करने के लिए हम Euler’s Equation of Motion से शुरू करते हैं:

dP/ρ + V dV + g dz = 0

अब इस equation को integrate करते हैं streamline के along:

∫(dP/ρ) + ∫(V dV) + ∫(g dz) = Constant

Integration करने पर हमें मिलता है:

P/ρ + (V²/2) + gz = Constant

अब दोनों तरफ g से divide करने पर Bernoulli’s equation का head form मिलती है:

P/ρg + V²/2g + z = Constant

4. Bernoulli’s Equation का Physical Meaning

इस equation का मतलब है कि किसी streamline पर flow करते समय fluid की:

Pressure Head + Kinetic Head + Potential Head = Constant

अगर velocity बढ़ती है तो pressure घटता है, और अगर height बढ़ती है तो kinetic energy घटती है — यानी energy एक form से दूसरी form में convert होती रहती है।

5. Bernoulli’s Equation के Assumptions

• Flow steady होना चाहिए।
• Fluid incompressible होना चाहिए।
• Viscosity negligible होनी चाहिए (frictionless flow)।
• Flow streamline के along consider किया जाता है।

6. Bernoulli’s Equation के Applications

• Venturi meter और Orifice meter में discharge measurement के लिए।
• Pitot tube से velocity measurement में।
• Aircraft wing design (Lift generation) में।
• Flow over dam spillways और hydraulic machines में।

7. Limitations of Bernoulli’s Equation

यह equation केवल ideal conditions के लिए valid होती है। Viscous fluids, compressible flow, या turbulent motion में Bernoulli’s equation directly apply नहीं होती। Practical applications में energy losses को consider करने के लिए correction terms जोड़े जाते हैं।

निष्कर्ष (Conclusion)

Bernoulli’s Equation fluid flow के energy balance को समझने में सबसे उपयोगी tool है। यह हमें बताती है कि कैसे fluid pressure, velocity और height एक दूसरे को प्रभावित करते हैं। Engineering में यह theorem कई instruments और machines के design में fundamental role निभाती है।