संक्रमण प्रायिकता और संक्रमण प्रायिकता मैट्रिक्स (Transition Probability and Transition Probability Matrix)

परिचय

मार्कोव प्रक्रियाओं (Markov Processes) और मार्कोव श्रृंखलाओं (Markov Chains) के अध्ययन में संक्रमण प्रायिकता (Transition Probability) और संक्रमण प्रायिकता मैट्रिक्स (Transition Probability Matrix) सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। इनके माध्यम से किसी सिस्टम की एक अवस्था से दूसरी अवस्था में जाने की संभावना का विश्लेषण किया जाता है।

डेटा साइंस, मशीन लर्निंग, आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस, तथा सांख्यिकीय मॉडलिंग में यह अवधारणा निर्णय लेने, भविष्यवाणी (Prediction), और सिस्टम मॉडलिंग में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।

संक्रमण प्रायिकता की परिभाषा

संक्रमण प्रायिकता वह संभावना है कि किसी मार्कोव प्रक्रिया में एक समय पर सिस्टम की स्थिति i हो और अगले समय पर स्थिति j हो। इसे गणितीय रूप में इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

P_ij = P[X_t+1 = j | X_t = i]

जहाँ X_t वह अवस्था है जिसमें सिस्टम समय t पर स्थित है, और X_t+1 वह अवस्था है जिसमें यह अगले चरण पर पहुँचता है।

संक्रमण प्रायिकता के गुणधर्म

• सभी संक्रमण प्रायिकताएँ 0 और 1 के बीच होती हैं।
• किसी भी अवस्था i से अन्य अवस्थाओं में जाने की कुल प्रायिकता 1 होती है:

Σ_j P_ij = 1

• यह समय-स्वतंत्र (Homogeneous) या समय-निर्भर (Non-homogeneous) हो सकती है।

संक्रमण प्रायिकता के प्रकार

• Single-step Transition Probability: एक अवस्था से दूसरी अवस्था में एक चरण में जाने की प्रायिकता।
• Multi-step Transition Probability: n चरणों के बाद किसी अवस्था तक पहुँचने की प्रायिकता। इसे P⁽ⁿ⁾ से दर्शाया जाता है।
• Stationary Transition Probability: जो समय पर निर्भर नहीं होती।

संक्रमण प्रायिकता मैट्रिक्स

मार्कोव श्रृंखला की सभी संक्रमण प्रायिकताओं को एक मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है, जिसे संक्रमण प्रायिकता मैट्रिक्स (Transition Probability Matrix) कहा जाता है। यदि किसी सिस्टम में n अवस्थाएँ हैं, तो मैट्रिक्स का रूप होगा:

P = ⎡ P₁₁ P₁₂ ... P₁ₙ ⎤
⎣ P₂₁ P₂₂ ... P₂ₙ ⎦

यहाँ P_ij उस संभावना का प्रतिनिधित्व करता है कि सिस्टम अवस्था i से अवस्था j में जाएगा।

गुणधर्म

• प्रत्येक पंक्ति का योग 1 होता है: Σ_j P_ij = 1
• प्रत्येक तत्व 0 ≤ P_ij ≤ 1
• मैट्रिक्स का nवाँ घात (Pⁿ) n चरणों के बाद की प्रायिकता को दर्शाता है।

उदाहरण

मान लीजिए कि किसी मौसम प्रणाली में तीन अवस्थाएँ हैं — “धूप”, “बादल”, और “बारिश”। संक्रमण प्रायिकताएँ इस प्रकार दी गई हैं:

From To	धूप	बादल	बारिश
धूप	0.6	0.3	0.1
बादल	0.4	0.4	0.2
बारिश	0.3	0.3	0.4

इस प्रणाली का संक्रमण प्रायिकता मैट्रिक्स इस प्रकार होगा:

P = ⎡ 0.6 0.3 0.1 ⎤
⎣ 0.4 0.4 0.2 ⎦
⎣ 0.3 0.3 0.4 ⎦

इसका अर्थ है कि यदि आज धूप है, तो कल भी धूप रहने की संभावना 0.6 है, बादल होने की 0.3, और बारिश होने की 0.1।

n-चरण संक्रमण प्रायिकता

यदि हमें n चरणों बाद किसी अवस्था में जाने की संभावना चाहिए, तो हम मैट्रिक्स का nवाँ घात निकालते हैं:

P⁽ⁿ⁾ = P × P × ... × P (n बार)

इससे यह पता चलता है कि एक अवस्था से दूसरी अवस्था में कितने चरणों के बाद पहुँचने की क्या संभावना होगी।

स्थिर अवस्था (Steady State) की अवधारणा

यदि किसी सिस्टम में पर्याप्त समय बीत जाने पर उसकी अवस्थाओं की प्रायिकता स्थिर हो जाती है (अर्थात आगे परिवर्तन नहीं होता), तो उसे Steady State कहा जाता है। इस स्थिति में:

πP = π

जहाँ π स्थिर अवस्था का प्रायिकता वेक्टर है।

वास्तविक जीवन उपयोग

• गूगल PageRank: वेबसाइटों के महत्व का निर्धारण संक्रमण प्रायिकता पर आधारित है।
• फाइनेंस: मार्कोव मॉडल्स से शेयर मार्केट की स्थिति की भविष्यवाणी।
• कंप्यूटर नेटवर्क: Packet routing और Fault Tolerance।
• मशीन लर्निंग: Hidden Markov Models और Sequence Prediction।

निष्कर्ष

संक्रमण प्रायिकता और संक्रमण प्रायिकता मैट्रिक्स मार्कोव श्रृंखला के विश्लेषण में आधारभूत भूमिका निभाते हैं। ये किसी सिस्टम की गतिशीलता को गणितीय रूप में व्यक्त करने में सहायता करते हैं। डेटा साइंस में यह अवधारणा न केवल पूर्वानुमान लगाने बल्कि अनिश्चित परिस्थितियों में निर्णय लेने के लिए भी अत्यंत महत्वपूर्ण है।