ARIMA मॉडल: पहचान, अनुमान और पूर्वानुमान (ARIMA Models: Identification, Estimation, and Forecasting)

परिचय

समय श्रेणी विश्लेषण (Time Series Analysis) में ARIMA मॉडल (Auto-Regressive Integrated Moving Average) सबसे लोकप्रिय और प्रभावी सांख्यिकीय मॉडल में से एक है। यह मॉडल न केवल डेटा के पैटर्न को पहचानने में मदद करता है बल्कि भविष्य के मानों का सटीक पूर्वानुमान भी प्रदान करता है। ARIMA मॉडल का प्रयोग अर्थशास्त्र, फाइनेंस, मौसम पूर्वानुमान, उत्पादन योजना और डेटा साइंस के अनेक क्षेत्रों में किया जाता है।

ARIMA मॉडल तीन मुख्य घटकों पर आधारित है — Auto-Regressive (AR), Integrated (I), और Moving Average (MA)। इनका संयोजन समय श्रेणी की जटिलता को समझने और स्थिरता प्राप्त करने में मदद करता है।

ARIMA का पूर्ण रूप और संरचना

ARIMA का अर्थ है:

• AR (Auto-Regressive): वर्तमान मान पिछले मानों पर निर्भर करता है।
• I (Integrated): स्थिरता प्राप्त करने के लिए डिफरेंसिंग (Differencing) का प्रयोग।
• MA (Moving Average): त्रुटियों (errors) के पिछले मानों का प्रभाव।

ARIMA मॉडल को (p, d, q) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ:

• p = Auto-regressive order
• d = Differencing order
• q = Moving average order

1. मॉडल पहचान (Model Identification)

पहचान का उद्देश्य यह निर्धारित करना होता है कि p, d, और q के कौन से मान उपयुक्त होंगे।

स्थिरता जांच

सबसे पहले यह सुनिश्चित किया जाता है कि श्रृंखला स्थिर है या नहीं। यदि डेटा अस्थिर है, तो डिफरेंसिंग (Differencing) लागू की जाती है जब तक कि औसत और विचलन स्थिर न हो जाएँ।

ACF और PACF ग्राफ का विश्लेषण

• ACF (Auto-Correlation Function): यह जांचता है कि वर्तमान मान पिछले मानों से कितना संबंधित है।
• PACF (Partial Auto-Correlation Function): यह प्रत्यक्ष संबंधों को मापता है जबकि अप्रत्यक्ष संबंधों को हटाता है।

ACF और PACF ग्राफ के कटऑफ बिंदुओं से p और q का अनुमान लगाया जाता है।

2. मॉडल अनुमान (Model Estimation)

मॉडल पहचान के बाद अगला चरण पैरामीटर का अनुमान लगाना होता है। इसके लिए सामान्यतः Maximum Likelihood Estimation (MLE) या Least Squares Method का उपयोग किया जाता है।

मॉडल फिट होने के बाद अवशेष (Residuals) का परीक्षण किया जाता है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि वे श्वेत शोर (White Noise) हैं — अर्थात उनमें कोई पैटर्न शेष न हो।

मॉडल सत्यापन (Model Validation)

• अवशेषों का औसत लगभग शून्य होना चाहिए।
• ACF प्लॉट में कोई महत्वपूर्ण स्पाइक नहीं होना चाहिए।
• Q-Statistic (Ljung-Box test) का उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि अवशेष यादृच्छिक हैं या नहीं।

3. पूर्वानुमान (Forecasting)

मॉडल के सत्यापन के बाद इसे भविष्य के मानों की भविष्यवाणी के लिए उपयोग किया जाता है। ARIMA मॉडल भविष्यवाणी के लिए समय-निर्भरता और त्रुटि संरचना दोनों का उपयोग करता है।

पूर्वानुमान समीकरण

ARIMA(p, d, q) मॉडल को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

Φ(B)(1 – B)d Xt = Θ(B)εt

जहाँ:

• Φ(B) = 1 – Φ₁B – Φ₂B² – … – ΦₚBᵖ
• Θ(B) = 1 + θ₁B + θ₂B² + … + θ_qB^q
• B = Backshift operator

इस समीकरण का उपयोग करके अगले समय के X_t+1, X_t+2 आदि का पूर्वानुमान किया जा सकता है।

ARIMA मॉडल के विशेष प्रकार

• AR Model: केवल Auto-Regressive घटक (p ≠ 0, q = 0)
• MA Model: केवल Moving Average घटक (p = 0, q ≠ 0)
• ARMA Model: जब d = 0 हो (Stationary data)
• ARIMA Model: जब डेटा स्थिर न हो और d ≥ 1 हो

उदाहरण

मान लीजिए किसी कंपनी के मासिक बिक्री डेटा पर ARIMA(1,1,1) मॉडल लागू किया गया। इसका परिणाम यह दिखाता है कि अगले तीन महीनों की बिक्री में 5% वृद्धि की संभावना है। मॉडल का पूर्वानुमान वास्तविक डेटा से 95% सटीकता से मेल खाता है।

डेटा साइंस में उपयोग

• स्टॉक मार्केट विश्लेषण और निवेश पूर्वानुमान।
• मौसमी बिक्री पैटर्न की भविष्यवाणी।
• सेंसर डेटा या IoT टाइम-सीरीज़ विश्लेषण।
• आर्थिक नीतियों और ऊर्जा मांग की योजना।

सीमाएँ

• बड़े पैमाने के डेटा पर computational लागत अधिक।
• डेटा में अचानक बदलाव (shock events) से सटीकता प्रभावित।
• पैरामीटर चयन में मानवीय निर्णय की आवश्यकता।
• गैर-रैखिक पैटर्न के लिए उपयुक्त नहीं।

निष्कर्ष

ARIMA मॉडल डेटा साइंस में समय श्रेणी विश्लेषण का सबसे विश्वसनीय और व्यावहारिक उपकरण है। यह मॉडल ऐतिहासिक डेटा से सीखकर भविष्य की सटीक भविष्यवाणी प्रदान करता है। यदि पहचान, अनुमान और सत्यापन ठीक प्रकार से किया जाए, तो ARIMA मॉडल किसी भी टाइम सीरीज़ डेटा के लिए अत्यंत उपयोगी सिद्ध हो सकता है।