First Order and Higher Order Markov Processes | प्रथम और उच्च क्रम की मार्कोव प्रक्रियाएँ


प्रथम और उच्च क्रम की मार्कोव प्रक्रियाएँ (First Order and Higher Order Markov Processes)

परिचय

मार्कोव प्रक्रिया (Markov Process) उन आकस्मिक प्रक्रियाओं का एक विशेष प्रकार है जिसमें भविष्य की अवस्था केवल वर्तमान अवस्था पर निर्भर करती है। जब इस निर्भरता का स्तर केवल वर्तमान अवस्था तक सीमित होता है, तो इसे प्रथम क्रम की मार्कोव प्रक्रिया (First Order Markov Process) कहा जाता है। यदि भविष्य की अवस्था कई पिछली अवस्थाओं पर निर्भर करती है, तो इसे उच्च क्रम की मार्कोव प्रक्रिया (Higher Order Markov Process) कहा जाता है।

ये प्रक्रियाएँ डेटा साइंस, मशीन लर्निंग, नेचुरल लैंग्वेज प्रोसेसिंग (NLP), और टाइम सीरीज़ मॉडलिंग में अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

1️⃣ प्रथम क्रम की मार्कोव प्रक्रिया (First Order Markov Process)

परिभाषा

किसी आकस्मिक प्रक्रिया X(t) को प्रथम क्रम की मार्कोव प्रक्रिया कहा जाता है यदि:

P[Xt+1 = xt+1 | Xt = xt, Xt-1 = xt-1, …, X₀ = x₀] = P[Xt+1 = xt+1 | Xt = xt]

अर्थात, भविष्य की अवस्था केवल वर्तमान अवस्था पर निर्भर करती है, न कि किसी भी पूर्व अवस्था पर।

उदाहरण

मान लीजिए किसी मौसम प्रणाली में केवल दो अवस्थाएँ हैं — “धूप” (Sunny) और “बारिश” (Rainy)। यदि आज धूप है, तो कल धूप होने की संभावना 0.7 और बारिश होने की 0.3 है। यदि आज बारिश है, तो कल धूप होने की संभावना 0.4 और बारिश होने की 0.6 है। यह एक प्रथम क्रम की मार्कोव प्रक्रिया का उदाहरण है क्योंकि कल का मौसम केवल आज के मौसम पर निर्भर करता है।

गणितीय अभिव्यक्ति

संक्रमण प्रायिकता को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

P = ⎡ 0.7 0.3 ⎤
⎣ 0.4 0.6 ⎦

यहाँ प्रत्येक पंक्ति का योग 1 है।

वास्तविक जीवन उपयोग

  • Speech Recognition: अगले शब्द की भविष्यवाणी केवल वर्तमान शब्द के आधार पर।
  • Weather Forecasting: कल का मौसम केवल आज के मौसम पर निर्भर।
  • Stock Market Modeling: अगले दिन की प्रवृत्ति वर्तमान मूल्य पर आधारित।
  • Website Navigation: अगला क्लिक वर्तमान पेज पर निर्भर।

2️⃣ उच्च क्रम की मार्कोव प्रक्रिया (Higher Order Markov Process)

परिभाषा

यदि किसी सिस्टम की भविष्य की अवस्था केवल एक नहीं बल्कि कई पिछली अवस्थाओं पर निर्भर करती है, तो उसे उच्च क्रम की मार्कोव प्रक्रिया कहा जाता है। उदाहरण के लिए, द्वितीय क्रम की मार्कोव प्रक्रिया (Second Order Markov Process) में भविष्य की अवस्था वर्तमान तथा पिछले दोनों अवस्थाओं पर निर्भर करेगी।

P[Xt+1 = xt+1 | Xt = xt, Xt-1 = xt-1, …] = P[Xt+1 = xt+1 | Xt, Xt-1]

उदाहरण

मान लीजिए कि कल का मौसम न केवल आज बल्कि परसों के मौसम पर भी निर्भर करता है। यदि पिछले दो दिनों में बारिश हुई है, तो आज बारिश की संभावना अधिक होगी। यह द्वितीय क्रम की मार्कोव प्रक्रिया का उदाहरण है।

वास्तविक उपयोग

  • Natural Language Processing: अगले शब्द का निर्धारण पिछले दो या अधिक शब्दों पर आधारित।
  • Financial Modeling: वर्तमान शेयर मूल्य पिछले दो दिनों के मूल्य पर निर्भर।
  • Biological Systems: डीएनए सीक्वेंस में न्यूक्लियोटाइड्स के पैटर्न का अध्ययन।

3️⃣ उच्च क्रम की प्रक्रिया को प्रथम क्रम में बदलना

कई बार उच्च क्रम की मार्कोव प्रक्रिया को प्रथम क्रम की प्रक्रिया के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह “State Expansion Method” कहलाता है, जिसमें पिछले n अवस्थाओं को मिलाकर एक संयुक्त अवस्था (Composite State) बना दी जाती है।

उदाहरण:

यदि Xt+1 केवल Xt और Xt-1 पर निर्भर है, तो हम एक नई अवस्था Yt = (Xt, Xt-1) बना सकते हैं। इस प्रकार यह प्रक्रिया प्रथम क्रम की मार्कोव प्रक्रिया के रूप में विश्लेषण योग्य बन जाती है।

4️⃣ गणितीय अंतर

तत्वप्रथम क्रम की प्रक्रियाउच्च क्रम की प्रक्रिया
निर्भरताकेवल वर्तमान अवस्थाकई पिछली अवस्थाएँ
जटिलताकमअधिक
मॉडलिंगसरल मैट्रिक्स आधारितसंयुक्त अवस्थाओं पर आधारित
प्रयोगमौसम, पेज रैंकभाषा मॉडलिंग, डीएनए विश्लेषण

5️⃣ मार्कोव मॉडलिंग में महत्व

  • वास्तविक सिस्टम में पिछले डेटा का प्रभाव मॉडलिंग में शामिल किया जा सकता है।
  • उच्च क्रम की प्रक्रियाएँ अधिक सटीक भविष्यवाणी प्रदान करती हैं।
  • डेटा सीक्वेंस एनालिसिस और टाइम सीरीज़ मॉडलिंग में आधारभूत भूमिका।

6️⃣ वास्तविक जीवन अनुप्रयोग

  • Google Auto-suggestion: उपयोगकर्ता द्वारा टाइप किए गए पिछले शब्दों पर आधारित।
  • Speech Recognition: ध्वनि के पैटर्न के अनुक्रम पर आधारित।
  • Weather Prediction: पिछले कई दिनों के तापमान डेटा पर आधारित।
  • Financial Forecasting: समय के साथ ट्रेंड के बदलाव का विश्लेषण।

निष्कर्ष

प्रथम और उच्च क्रम की मार्कोव प्रक्रियाएँ आकस्मिक प्रणालियों के विश्लेषण का एक शक्तिशाली साधन हैं। जहाँ प्रथम क्रम की प्रक्रिया सरल और गणनात्मक रूप से हल्की होती है, वहीं उच्च क्रम की प्रक्रिया अधिक सटीक परिणाम प्रदान करती है क्योंकि इसमें ऐतिहासिक डेटा का प्रभाव शामिल होता है। इनका उपयोग आधुनिक डेटा साइंस, नेचुरल लैंग्वेज प्रोसेसिंग और मशीन लर्निंग में व्यापक रूप से किया जा रहा है।

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