n-चरण संक्रमण प्रायिकताएँ (n-Step Transition Probabilities)

परिचय

मार्कोव श्रृंखला (Markov Chain) का एक महत्वपूर्ण पहलू यह है कि यह किसी सिस्टम की अवस्थाओं में समय के साथ संक्रमण की संभावना को मापता है। एक चरण में संक्रमण की संभावना को “एक-चरण संक्रमण प्रायिकता (One-step transition probability)” कहा जाता है, जबकि कई चरणों के बाद किसी अवस्था तक पहुँचने की संभावना को n-चरण संक्रमण प्रायिकता (n-Step Transition Probability) कहा जाता है।

यह अवधारणा बताती है कि एक प्रणाली कितनी बार अवस्था बदलते हुए किसी विशेष अवस्था तक पहुँचेगी — चाहे वह दो, तीन, या n चरणों बाद हो। डेटा साइंस और मशीन लर्निंग में यह समय-आधारित भविष्यवाणी और अनुक्रम मॉडलिंग (Sequence Modeling) के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

n-चरण संक्रमण प्रायिकता की परिभाषा

किसी मार्कोव श्रृंखला के लिए, n-चरण संक्रमण प्रायिकता को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

P_ij⁽ⁿ⁾ = P[X_t+n = j | X_t = i]

अर्थात, यदि सिस्टम वर्तमान में अवस्था i में है, तो n चरणों के बाद उसके अवस्था j में होने की संभावना P_ij⁽ⁿ⁾ होगी।

मैट्रिक्स रूप

सभी n-चरण संक्रमण प्रायिकताओं को एक मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

P⁽ⁿ⁾ = [P_ij⁽ⁿ⁾]

जहाँ P⁽¹⁾ = P (एक-चरण संक्रमण प्रायिकता मैट्रिक्स) और:

P⁽ⁿ⁾ = P⁽ⁿ⁻¹⁾ × P

इसका अर्थ है कि n चरणों की संक्रमण प्रायिकता n−1 चरण की मैट्रिक्स को मूल संक्रमण मैट्रिक्स से गुणा करके प्राप्त की जा सकती है।

गुणधर्म

• P⁽⁰⁾ = I (Identity Matrix)
• P⁽¹⁾ = P
• P^(n+m) = P⁽ⁿ⁾ × P^(m)
• सभी पंक्तियों का योग हमेशा 1 होता है।
• n बढ़ने पर संक्रमण प्रायिकताएँ स्थिर अवस्था (Steady State) की ओर प्रवृत्त होती हैं।

उदाहरण

मान लीजिए कि किसी सिस्टम में दो अवस्थाएँ हैं: A और B, जिनकी संक्रमण प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:

P = ⎡ 0.7 0.3 ⎤
⎣ 0.4 0.6 ⎦

अब हमें दो-चरण (n=2) संक्रमण प्रायिकता निकालनी है।

गणना:

P⁽²⁾ = P × P

P(2) = 
⎡ 0.7  0.3 ⎤ × ⎡ 0.7  0.3 ⎤
⎣ 0.4  0.6 ⎦   ⎣ 0.4  0.6 ⎦

⇒ ⎡ (0.7×0.7 + 0.3×0.4) (0.7×0.3 + 0.3×0.6) ⎤
⎣ (0.4×0.7 + 0.6×0.4) (0.4×0.3 + 0.6×0.6) ⎦

⇒ ⎡ 0.61 0.39 ⎤
⎣ 0.52 0.48 ⎦

इसका अर्थ है कि यदि सिस्टम वर्तमान में अवस्था A में है, तो दो चरणों बाद इसके फिर से A में रहने की संभावना 0.61 और B में होने की 0.39 है।

तीन-चरण संक्रमण प्रायिकता

इसी प्रकार, तीन चरणों के लिए:

P⁽³⁾ = P⁽²⁾ × P

इस विधि से किसी भी संख्या के चरणों की संक्रमण प्रायिकता की गणना की जा सकती है।

स्थिर अवस्था से संबंध

जैसे-जैसे n → ∞, संक्रमण प्रायिकताएँ स्थिर अवस्था की ओर झुकने लगती हैं। इस स्थिति में किसी भी प्रारंभिक अवस्था से शुरू करने पर सिस्टम का दीर्घकालिक व्यवहार समान हो जाता है:

P⁽ⁿ⁾ → Π

जहाँ Π स्थिर अवस्था की प्रायिकता मैट्रिक्स है।

वास्तविक जीवन अनुप्रयोग

• Weather Forecasting: n दिनों बाद किसी मौसम की स्थिति की संभावना।
• Finance: कई दिनों के बाद शेयर के मूल्य का प्रवृत्तिक व्यवहार।
• Queue Systems: किसी ग्राहक के n सेवाओं के बाद सिस्टम में स्थिति।
• Machine Learning: Hidden Markov Models में n-step transition calculation।
• Google PageRank: कई iterations के बाद वेबसाइट रैंक का स्थिर मूल्य।

गणनात्मक दृष्टिकोण

आधुनिक प्रोग्रामिंग भाषाओं जैसे Python या R में, NumPy का उपयोग करके n-step transition probabilities सरलता से प्राप्त की जा सकती हैं:

import numpy as np
P = np.array([[0.7, 0.3],
              [0.4, 0.6]])
n = 5
Pn = np.linalg.matrix_power(P, n)
print(Pn)

यह कोड पाँच चरणों के बाद की संक्रमण प्रायिकता मैट्रिक्स देगा।

महत्व

• n-step transition प्रायिकताएँ किसी सिस्टम की दीर्घकालिक प्रवृत्ति को समझने में मदद करती हैं।
• यह समय श्रृंखला और मार्कोव विश्लेषण का मूल आधार है।
• इनका प्रयोग भविष्यवाणी मॉडलिंग और निर्णय प्रणाली डिज़ाइन में किया जाता है।

निष्कर्ष

n-चरण संक्रमण प्रायिकता किसी मार्कोव प्रणाली के समय-निर्भर व्यवहार को समझने की कुंजी है। यह न केवल अल्पकालिक बदलावों का विश्लेषण करने में उपयोगी है बल्कि यह भी दर्शाती है कि एक सिस्टम दीर्घकाल में किस अवस्था की ओर स्थिर होगा। डेटा साइंस, मशीन लर्निंग और फाइनेंस में इनका महत्व अत्यधिक है, विशेष रूप से पूर्वानुमान और जोखिम विश्लेषण में।