सांख्यिकी में सहनीय क्षेत्र (Tolerance Region)

परिचय

सांख्यिकी में सहनीय क्षेत्र (Tolerance Region) एक अत्यंत महत्वपूर्ण अवधारणा है, जो डेटा सेट में मानों की उस सीमा (Range) को दर्शाती है जिसके भीतर किसी निश्चित प्रतिशत अवलोकन आने की संभावना होती है। यह अवधारणा विशेष रूप से गुणवत्ता नियंत्रण (Quality Control), मापन विज्ञान (Metrology) और डेटा साइंस में उपयोगी है, जहाँ हमें यह निर्धारित करना होता है कि किसी प्रक्रिया या उत्पाद के परिणाम किस सीमा में स्वीकार्य हैं।

सहनीय क्षेत्र का प्रयोग किसी जनसंख्या के वितरण के बारे में विश्वास स्तर (Confidence Level) निर्धारित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम कहते हैं कि 99% वस्तुएँ किसी विशेष माप की 95% संभावना के साथ ±3 यूनिट की सीमा में आती हैं, तो यह सीमा सहनीय क्षेत्र कहलाती है।

मुख्य अवधारणा

• यह क्षेत्र बताता है कि डेटा का कितना भाग एक निश्चित सीमा के भीतर आता है।
• यह केवल औसत (Mean) या वैरिएंस (Variance) पर निर्भर नहीं करता, बल्कि पूरी जनसंख्या के वितरण को शामिल करता है।
• सहनीय क्षेत्र विश्वास अंतराल (Confidence Interval) या पूर्वानुमान अंतराल (Prediction Interval) से भिन्न होता है।

सहनीय क्षेत्र बनाम अन्य अंतराल

अवधारणा	परिभाषा	उद्देश्य
Confidence Interval	पैरामीटर (जैसे Mean) की सीमा	सैंपल से जनसंख्या के Mean का अनुमान
Prediction Interval	भविष्य के एक अवलोकन की सीमा	एक नए मान के अनुमान की सीमा
Tolerance Region	सभी या अधिकांश अवलोकनों की सीमा	जनसंख्या के हिस्से का नियंत्रण

सहनीय क्षेत्र का प्रकार

• 1. Tolerance Interval: जब एक-आयामी डेटा के लिए सीमा तय की जाती है।
• 2. Tolerance Region: जब बहु-आयामी (Multivariate) डेटा के लिए सीमा निर्धारित होती है।

गणितीय परिभाषा

किसी वितरण F(x) और विश्वास स्तर (1–α) के लिए सहनीय क्षेत्र T इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:

P{P(X ∈ T) ≥ p} = 1 – α

अर्थात, यह संभावना कि जनसंख्या का कम से कम p% भाग क्षेत्र T के भीतर आता है, 1–α होती है।

सहनीय अंतराल का उदाहरण (Normal Distribution)

मान लीजिए कि किसी उत्पाद की लंबाई सामान्य वितरण का पालन करती है जिसका औसत (μ) 50 और मानक विचलन (σ) 2 है। हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि 99% उत्पादों की लंबाई 95% विश्वास स्तर पर इस सीमा में आए।

तो सहनीय सीमा इस प्रकार होगी:

T = μ ± kσ

जहाँ k सहनीय गुणांक (Tolerance Factor) है जो n और विश्वास स्तर पर निर्भर करता है। तालिकाओं के अनुसार, n = 30, p = 0.99, α = 0.05 के लिए k ≈ 3.138

अतः T = 50 ± 3.138 × 2 = (43.724, 56.276)

इसका अर्थ है कि 95% विश्वास के साथ 99% उत्पादों की लंबाई 43.72 और 56.27 के बीच होगी।

बहु-आयामी सहनीय क्षेत्र

जब डेटा बहु-आयामी होता है (जैसे X, Y, Z तीन माप), तो सहनीय क्षेत्र बहु-विवरणीय वितरण (Multivariate Distribution) पर आधारित होता है। यदि डेटा सामान्य रूप से वितरित है, तो यह क्षेत्र Ellipsoidal Region के रूप में होता है:

(x – μ)' Σ⁻¹ (x – μ) ≤ c²

जहाँ:

• μ = Mean Vector
• Σ = Covariance Matrix
• c = Multivariate Tolerance Constant

डेटा साइंस और इंजीनियरिंग में उपयोग

• गुणवत्ता नियंत्रण (Quality Control) में उत्पाद की स्वीकार्य सीमा तय करने के लिए।
• मशीन लर्निंग मॉडल में त्रुटि सहनशीलता (Error Tolerance) सेट करने के लिए।
• IoT सेंसर डेटा में स्वीकार्य मापन सीमा निर्धारित करने के लिए।
• प्रयोगों के सांख्यिकीय विश्लेषण में वैधता की जाँच।
• क्लिनिकल डेटा में जैविक मानकों की स्वीकृत सीमा मापने के लिए।

लाभ

• संपूर्ण वितरण को कवर करता है, न कि केवल औसत।
• निर्माण और उत्पादन प्रक्रियाओं के लिए उपयुक्त।
• जोखिम प्रबंधन और गुणवत्ता सुधार में उपयोगी।

सीमाएँ

• सैंपल साइज छोटा होने पर विश्वसनीयता कम होती है।
• बहु-आयामी डेटा के लिए गणना जटिल।
• सहनीय गुणांक तालिकाओं पर निर्भरता।

निष्कर्ष

सहनीय क्षेत्र एक ऐसा सांख्यिकीय उपकरण है जो वास्तविक-विश्व अनुप्रयोगों में गुणवत्ता और विश्वसनीयता बनाए रखने में मदद करता है। यह न केवल डेटा के औसत बल्कि उसकी संपूर्ण विविधता को ध्यान में रखता है। डेटा साइंस, औद्योगिक इंजीनियरिंग और मशीन लर्निंग में यह अवधारणा अत्यंत उपयोगी है, विशेष रूप से जब हम किसी प्रणाली या प्रक्रिया की स्थिरता और सटीकता का मूल्यांकन करते हैं।