समांगता का परिचय (Introduction to Congruences)

परिचय

संख्या सिद्धांत (Number Theory) में समांगता (Congruence) एक अत्यंत महत्वपूर्ण अवधारणा है जो मॉड्यूलर अंकगणित (Modular Arithmetic) की नींव रखती है। समांगता का उपयोग तब किया जाता है जब दो संख्याएँ किसी तीसरी संख्या (मॉड्यूलस) से विभाजित होने पर समान शेषफल (Remainder) छोड़ती हैं। यह अवधारणा न केवल गणित में बल्कि कंप्यूटर विज्ञान, डेटा एनक्रिप्शन, और क्रिप्टोग्राफी में भी अत्यंत उपयोगी है।

समांगता की परिभाषा

यदि कोई तीन पूर्णांक a, b, और m (m > 0) दिए गए हैं, और (a – b) संख्या m से विभाज्य है, तो कहा जाता है कि:

a ≡ b (mod m)

इसका अर्थ है कि a और b दोनों को m से भाग देने पर समान शेषफल प्राप्त होता है।

उदाहरण:

• 7 ≡ 3 (mod 4), क्योंकि 7 – 3 = 4 जो 4 से विभाज्य है।
• 15 ≡ 3 (mod 12), क्योंकि 15 – 3 = 12 जो 12 से विभाज्य है।
• 29 ≡ 5 (mod 8), क्योंकि 29 – 5 = 24 जो 8 से विभाज्य है।

मॉड्यूलर अंकगणित (Modular Arithmetic)

मॉड्यूलर अंकगणित में सभी गणनाएँ किसी निश्चित संख्या (मॉड्यूलस) पर आधारित होती हैं। यह ‘घड़ी गणित (Clock Arithmetic)’ की तरह है। उदाहरण के लिए, 12-घंटे की घड़ी पर यदि अभी 10 बजे हैं और हम 5 घंटे जोड़ते हैं, तो परिणाम 3 बजे होगा — अर्थात् (10 + 5) mod 12 = 3।

उदाहरण:

• (14 + 9) mod 12 = 23 mod 12 = 11
• (8 × 7) mod 5 = 56 mod 5 = 1
• (27 – 15) mod 6 = 12 mod 6 = 0

समांगता के गुणधर्म (Properties of Congruence)

• 1️⃣ Reflexive Property: a ≡ a (mod m)
• 2️⃣ Symmetric Property: यदि a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m)
• 3️⃣ Transitive Property: यदि a ≡ b (mod m) और b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m)
• 4️⃣ Addition Property: यदि a ≡ b (mod m) और c ≡ d (mod m), तो (a + c) ≡ (b + d) (mod m)
• 5️⃣ Multiplication Property: (a × c) ≡ (b × d) (mod m)
• 6️⃣ Division Property: यदि GCD(c, m) = 1, तो (a / c) ≡ (b / c) (mod m)

समांगता का उपयोग

• क्रिप्टोग्राफी (RSA, Diffie-Hellman) में मॉड्यूलर एक्सपोनेंशिएशन।
• कंप्यूटर साइंस में Hash Function निर्माण।
• डेटा सुरक्षा में डिजिटल हस्ताक्षर (Digital Signatures)।
• एल्गोरिद्म में Modular Reduction और Large Number Computations।

समांगता का वर्गीकरण

• Linear Congruence: ax ≡ b (mod m)
• Quadratic Congruence: ax² + bx + c ≡ 0 (mod m)
• System of Congruences: कई समांग समीकरणों का समूह।

उदाहरण – Linear Congruence

3x ≡ 6 (mod 9)

यहाँ, m = 9, a = 3, b = 6

चूँकि GCD(3, 9) = 3 और 3 | 6, अतः समाधान संभव है।

समीकरण को सरल करें: (3/3)x ≡ (6/3) (mod 9/3) ⇒ x ≡ 2 (mod 3)

इसलिए समाधान: x = 2, 5, 8

समांगता और विभाज्यता (Congruence and Divisibility)

a ≡ b (mod m) का अर्थ है कि (a – b) m का गुणज है। यह विभाज्यता के सिद्धांत से गहराई से जुड़ा हुआ है। विभाज्यता की यह अवधारणा डेटा एन्क्रिप्शन और सुरक्षा में उपयोगी होती है क्योंकि यह संख्या-आधारित सुरक्षा प्रणालियों का आधार है।

वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग

• डेटा सुरक्षा: एन्क्रिप्शन और डीक्रिप्शन में मॉड्यूलर गणना।
• नेटवर्क सिक्योरिटी: पब्लिक की वितरण और वेरिफिकेशन।
• डेटा साइंस: सिग्नल प्रोसेसिंग और साइकलिक पैटर्न विश्लेषण।
• कंप्यूटर सिस्टम: हाशिंग (Hashing) और मेमोरी एड्रेस कैलकुलेशन।

निष्कर्ष

समांगता संख्या सिद्धांत का वह अध्याय है जो कंप्यूटर विज्ञान, क्रिप्टोग्राफी और डेटा एनालिटिक्स को गणितीय मजबूती प्रदान करता है। यह मॉड्यूलर अंकगणित का आधार है, जिसके बिना आधुनिक एन्क्रिप्शन तकनीकें असंभव हैं। डेटा साइंस में, Congruence पैटर्न पहचान, वितरण विश्लेषण और सुरक्षित डेटा हैंडलिंग के लिए एक महत्वपूर्ण गणितीय उपकरण है।