पूर्णांकों का गुणनखंडन और फर्मा संख्याएँ (Factorization of Integers and Fermat Numbers)

परिचय

संख्या सिद्धांत (Number Theory) में गुणनखंडन (Factorization) का अर्थ होता है किसी पूर्णांक (Integer) को छोटी संख्याओं के गुणनफल के रूप में विभाजित करना। जब ये छोटी संख्याएँ अभाज्य (Prime) होती हैं, तब इस प्रक्रिया को अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization) कहा जाता है। यह अवधारणा अंकगणित के मौलिक प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic) पर आधारित है, जो कहता है कि हर संख्या को अभाज्य गुणकों के अद्वितीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

इसके अतिरिक्त, फर्मा संख्याएँ (Fermat Numbers) एक विशेष प्रकार की संख्याएँ होती हैं, जिन्हें प्रसिद्ध गणितज्ञ पियरे डी फर्मा (Pierre de Fermat) ने परिभाषित किया था। इन संख्याओं ने क्रिप्टोग्राफी, कंप्यूटर विज्ञान और आधुनिक डेटा सुरक्षा के क्षेत्र में अत्यधिक योगदान दिया है।

पूर्णांकों का गुणनखंडन (Factorization of Integers)

किसी पूर्णांक n (n > 1) को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:

n = p₁^α₁ × p₂^α₂ × … × pₖ^αₖ

जहाँ p₁, p₂, …, pₖ अभाज्य संख्याएँ हैं और α₁, α₂, …, αₖ उनके घातांक हैं।

गुणनखंडन के प्रकार

• 1. ट्रायल डिवीजन मेथड (Trial Division Method): छोटे अभाज्य संख्याओं से विभाजित करते हुए गुणनखंड खोजे जाते हैं।
• 2. फर्मा का गुणनखंडन (Fermat’s Factorization): विषम संख्याओं के लिए उपयुक्त, जो दो वर्गों के अंतर के रूप में लिखी जा सकती हैं।
• 3. पोलार्ड रो मेथड (Pollard’s Rho Algorithm): बड़े संख्याओं के लिए प्रयुक्त एल्गोरिद्मिक तरीका।
• 4. क्वाड्रेटिक सिव (Quadratic Sieve) और एलिप्टिक कर्व फैक्टराइजेशन (ECM): बहुत बड़ी संख्याओं के लिए आधुनिक गणनात्मक विधियाँ।

फर्मा का गुणनखंडन (Fermat’s Factorization Method)

यह विधि इस सिद्धांत पर आधारित है कि किसी विषम संख्या n को दो वर्गों के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है:

n = x² – y² = (x + y)(x – y)

यदि n = pq हो (जहाँ p और q दो कारक हैं), तो:

x = (p + q) / 2 y = (p – q) / 2

इस प्रकार, p = x + y और q = x – y प्राप्त किए जा सकते हैं।

उदाहरण:

n = 5959

√n ≈ 77.2 ⇒ x = 78 x² – n = 78² – 5959 = 6084 – 5959 = 125 = 5² × 5² ⇒ y = 11 अतः n = (x + y)(x – y) = (78 + 11)(78 – 11) = 89 × 67 → 5959 = 89 × 67

फर्मा संख्याएँ (Fermat Numbers)

फर्मा संख्याएँ विशेष रूप से इस प्रकार परिभाषित की जाती हैं:

F_n = 2^2ⁿ + 1

उदाहरण:

n	Fn	मान (Value)
0	F₀ = 21 + 1	3
1	F₁ = 22 + 1	5
2	F₂ = 24 + 1	17
3	F₃ = 28 + 1	257
4	F₄ = 216 + 1	65537
5	F₅ = 232 + 1	4294967297

फर्मा ने अनुमान लगाया था कि सभी Fermat Numbers अभाज्य हैं, लेकिन बाद में पाया गया कि यह केवल F₀ से F₄ तक ही सत्य है। F₅ से आगे की संख्याएँ अभाज्य नहीं हैं।

फर्मा संख्याओं के गुण

• Fₙ = 2^2ⁿ + 1
• Fₙ₊₁ = (F₀ × F₁ × ... × Fₙ) + 2
• किसी दो Fermat संख्याओं का आपसी GCD = 1 (अर्थात सभी Fermat Numbers आपस में Coprime होते हैं)।
• F₀, F₁, F₂, F₃, F₄ अभाज्य हैं।
• F₅ और आगे की Fermat संख्याएँ संयोजित (Composite) हैं।

अनुप्रयोग

• क्रिप्टोग्राफी: Fermat Primes का उपयोग RSA Encryption में किया जाता है।
• कंप्यूटर नेटवर्क: Public Key Generation में बड़ी अभाज्य संख्याओं की आवश्यकता।
• एल्गोरिद्म डिजाइन: Modular Arithmetic और Fermat’s Little Theorem के आधार पर तेज़ गणनाएँ।
• डेटा साइंस: संख्यात्मक सुरक्षा और यादृच्छिकता (Randomness) विश्लेषण।

फर्मा के छोटे प्रमेय से संबंध (Fermat’s Little Theorem)

यदि p अभाज्य है और a कोई ऐसी संख्या है जो p से विभाज्य नहीं है, तो:

a^p–1 ≡ 1 (mod p)

यह सिद्धांत क्रिप्टोग्राफी और मॉड्यूलर गणना में अत्यंत उपयोगी है।

निष्कर्ष

पूर्णांकों का गुणनखंडन गणित की वह प्रक्रिया है जो किसी संख्या की संरचना को उजागर करती है। फर्मा संख्याएँ इस अध्ययन को और भी गहराई देती हैं क्योंकि ये संख्याएँ अभाज्य संख्याओं के विशेष स्वरूप को प्रदर्शित करती हैं। डेटा साइंस, क्रिप्टोग्राफी और कम्प्यूटेशनल गणित में Fermat Numbers और Factorization एक अत्यंत आवश्यक उपकरण हैं जो सुरक्षा, जटिलता और गणना की दक्षता को परिभाषित करते हैं।