आकस्मिक प्रक्रियाओं का परिचय (Introduction to Stochastic Processes)

परिचय

डेटा साइंस, सांख्यिकी और मशीन लर्निंग के क्षेत्र में, आकस्मिक प्रक्रिया (Stochastic Process) एक ऐसी गणितीय प्रणाली है जो समय या किसी अन्य पैरामीटर पर आधारित होती है और जिसका विकास आकस्मिकता (Randomness) पर निर्भर करता है। यह एक ऐसा मॉडल है जो किसी सिस्टम या घटना के समय के साथ बदलने की अनिश्चितता को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, शेयर बाजार की कीमतें, मौसम की स्थिति, कॉल सेंटर में आने वाली कॉलों की संख्या, या किसी वेबसाइट पर ट्रैफिक — ये सभी आकस्मिक प्रक्रियाओं के उदाहरण हैं। इनमें परिवर्तन नियमित नहीं होते बल्कि यादृच्छिक (Random) होते हैं।

आकस्मिक प्रक्रिया की परिभाषा

यदि किसी सेट T के प्रत्येक तत्व (जो समय का प्रतिनिधित्व करता है) से एक यादृच्छिक चर (Random Variable) जुड़ा हुआ है, तो उस पूरे परिवार को एक Stochastic Process कहा जाता है।

X(t), t ∈ T

जहाँ X(t) एक Random Variable है जो समय t पर सिस्टम की स्थिति को दर्शाता है।

आवश्यक तत्व

• Random Variable (यादृच्छिक चर): जो किसी घटना के परिणाम को मापता है।
• Index Set (सूचक सेट): जो समय या क्रम को दर्शाता है, जैसे T = {0,1,2,...}।
• State Space (स्थिति स्थान): सभी संभावित अवस्थाओं का समूह।
• Sample Space (नमूना स्थान): सभी संभावित परिणामों का सेट।

आकस्मिक प्रक्रिया के प्रकार

• 1. Discrete-time Stochastic Process: जब समय का मान अलग-अलग (Discrete) होता है, जैसे t = 1,2,3,...
• 2. Continuous-time Stochastic Process: जब समय निरंतर (Continuous) होता है, जैसे t ∈ ℝ।

उदाहरण

• किसी बैंक में ग्राहकों के आगमन की संख्या (Poisson Process)।
• शेयर मार्केट में स्टॉक प्राइस (Random Walk Process)।
• डेटा पैकेट आगमन नेटवर्क में (Markov Process)।
• मौसम का परिवर्तन (Markov Chain)।

Stochastic Process की वर्गीकरण

• 1. Stationary Process: जिसकी सांख्यिकीय विशेषताएँ समय के साथ नहीं बदलतीं।
• 2. Non-Stationary Process: जिसकी Mean या Variance समय के साथ बदलती है।
• 3. Markov Process: जो वर्तमान स्थिति पर आधारित होती है, न कि पिछले इतिहास पर।
• 4. Poisson Process: जो घटनाओं के आगमन दर (Rate of Occurrence) को दर्शाता है।

आकस्मिक प्रक्रिया के वास्तविक जीवन उदाहरण

• फाइनेंस: शेयर मार्केट और ब्याज दरों का मॉडलिंग।
• सिग्नल प्रोसेसिंग: ऑडियो और वीडियो डेटा के शोर (Noise) विश्लेषण।
• मशीन लर्निंग: Hidden Markov Models (HMMs)।
• नेटवर्क साइंस: पैकेट ट्रैफिक और क्यूइंग सिस्टम।

Stochastic Process बनाम Deterministic Process

मापदंड	आकस्मिक प्रक्रिया	नियतात्मक प्रक्रिया
प्रकृति	यादृच्छिक (Random)	नियत (Deterministic)
पूर्वानुमान	अनिश्चित	सटीक
उदाहरण	स्टॉक मार्केट, मौसम	सौर प्रणाली की गति
मॉडलिंग	प्रायिकता पर आधारित	गणितीय समीकरण पर आधारित

गणितीय अभिव्यक्ति

यदि किसी आकस्मिक प्रक्रिया का Mean μ(t) और Variance σ²(t) है, तो:

μ(t) = E[X(t)]
σ²(t) = E[(X(t) - μ(t))²]

महत्व

• यह अनिश्चितता को गणितीय रूप में व्यक्त करता है।
• सिस्टम की Random Dynamics को समझने में सहायक।
• Decision-making में उपयोगी (जैसे Predictive Analytics)।
• Markov Chain, Poisson Process जैसी उन्नत अवधारणाओं की नींव।

निष्कर्ष

आकस्मिक प्रक्रिया डेटा विज्ञान का एक अनिवार्य भाग है जो हमें समय के साथ परिवर्तनशील और अनिश्चित घटनाओं को समझने की क्षमता प्रदान करता है। यह भविष्यवाणी, मॉडलिंग, और अनिश्चित सिस्टमों के विश्लेषण में एक वैज्ञानिक दृष्टिकोण प्रदान करती है। Stochastic Modeling आज की Artificial Intelligence और Machine Learning तकनीकों की नींव है।