महत्तम समापवर्तक (Greatest Common Divisor - GCD)

परिचय

महत्तम समापवर्तक (Greatest Common Divisor - GCD) या महत्तम समापवर्ती (HCF) गणित और संख्या सिद्धांत (Number Theory) की एक अत्यंत महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह दो या अधिक पूर्णांकों (Integers) के लिए वह सबसे बड़ा धनात्मक संख्या होती है जो उन सभी को बिना शेष छोड़े विभाजित कर सकती है।

डेटा साइंस और क्रिप्टोग्राफी जैसे क्षेत्रों में GCD का उपयोग अत्यंत महत्वपूर्ण है — विशेष रूप से एल्गोरिद्म डिज़ाइन, एनक्रिप्शन (जैसे RSA Algorithm), और मॉड्यूलर अंकगणित में। इसका अध्ययन कंप्यूटर विज्ञान में ‘Discrete Mathematics’ के अंतर्गत किया जाता है।

परिभाषा

यदि दो संख्याएँ a और b दी गई हों, तो उनका GCD वह सबसे बड़ी संख्या d होगी जो दोनों को पूरी तरह विभाजित करती है:

d = GCD(a, b) ⇔ d | a और d | b

और यदि कोई अन्य संख्या c भी दोनों को विभाजित करती है, तो c ≤ d होगा।

उदाहरण

• GCD(8, 12) = 4
• GCD(15, 25) = 5
• GCD(9, 28) = 1 (क्योंकि ये सहाभाज्य या Coprime हैं)

GCD निकालने के तरीके

1. 1. Prime Factorization Method: दोनों संख्याओं को उनके अभाज्य गुणकों में विभाजित करें और समान अभाज्य गुणकों के न्यूनतम घात (Power) लें।

उदाहरण: 36 = 2² × 3² 60 = 2² × 3 × 5 समान गुणक = 2² × 3¹ = 12 GCD(36, 60) = 12

2. 2. Division (Euclidean) Method: यदि a > b, तो a = bq + r तब GCD(a, b) = GCD(b, r) जब तक r = 0 न हो जाए।

उदाहरण: GCD(60, 36): 60 = 36×1 + 24 36 = 24×1 + 12 24 = 12×2 + 0 → GCD = 12

गुणधर्म (Properties of GCD)

• GCD(a, 0) = |a|
• GCD(0, 0) = 0
• GCD(a, b) = GCD(b, a)
• यदि a | b ⇒ GCD(a, b) = |a|
• GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c)

सहाभाज्य संख्याएँ (Coprime Numbers)

यदि GCD(a, b) = 1, तो a और b को सहाभाज्य (Coprime) कहा जाता है। उदाहरण: (8, 15), (9, 28)

डेटा साइंस और कंप्यूटर विज्ञान में उपयोग

• RSA Encryption में GCD का प्रयोग सहाभाज्य संख्या चयन हेतु किया जाता है।
• अल्गोरिद्म ऑप्टिमाइज़ेशन में Modular Arithmetic की गणनाओं के लिए।
• क्लस्टरिंग और पिक्सेल साइज़ कैलकुलेशन में।
• डेटा नॉर्मलाइज़ेशन और रिडक्शन तकनीकों में।

निष्कर्ष

GCD संख्या सिद्धांत का एक मूलभूत तत्व है, जो एल्गोरिद्मिक गणनाओं, डेटा सुरक्षा, और गणितीय मॉडलिंग में उपयोग किया जाता है। यह गणितीय रूप से सरल होते हुए भी अत्यधिक शक्तिशाली उपकरण है जो संख्याओं की संरचना और विभाज्यता के गुणों को गहराई से समझने में सहायता करता है।