रेखीय समांग समीकरणों की प्रणाली (Systems of Linear Congruences)

परिचय

संख्या सिद्धांत (Number Theory) में रेखीय समांग समीकरणों की प्रणाली (Systems of Linear Congruences) उन समीकरणों के समूह को संदर्भित करती है जो मॉड्यूलर अंकगणित (Modular Arithmetic) के अंतर्गत आते हैं और जिनमें प्रत्येक समीकरण एक रेखीय समांगता (Linear Congruence) होता है। इस प्रकार की प्रणालियाँ गणित, कंप्यूटर साइंस, क्रिप्टोग्राफी, नेटवर्क सुरक्षा, और डेटा विज्ञान के क्षेत्र में अत्यधिक उपयोगी हैं।

उदाहरण के लिए, किसी सिस्टम में कई समांग समीकरण दिए जा सकते हैं जो किसी अज्ञात चर x के लिए विभिन्न मॉड्यूलस के अंतर्गत संतुष्ट होने चाहिए। इन समीकरणों का एक साथ समाधान निकालने की तकनीक ही “रेखीय समांग समीकरणों की प्रणाली” कहलाती है।

सामान्य रूप

रेखीय समांग समीकरणों की प्रणाली को सामान्यतः इस रूप में लिखा जाता है:

x ≡ a₁ (mod m₁)
x ≡ a₂ (mod m₂)
x ≡ a₃ (mod m₃)
...
x ≡ aₖ (mod mₖ)

यहाँ, m₁, m₂, m₃,…, mₖ मॉड्यूलस हैं और a₁, a₂, a₃,…, aₖ शेषफल (remainders) हैं। यदि सभी mᵢ परस्पर सहाभाज्य (Pairwise Coprime) हैं, तो प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान होता है जो Chinese Remainder Theorem (CRT) से प्राप्त किया जा सकता है।

चीनी शेष प्रमेय के माध्यम से समाधान

यदि m₁, m₂, m₃,…, mₖ सभी सहाभाज्य हैं, तो CRT कहता है कि:

x ≡ a₁ (mod m₁)
x ≡ a₂ (mod m₂)
...
x ≡ aₖ (mod mₖ)

का समाधान इस प्रकार निकाला जा सकता है:

x ≡ Σ (aᵢ × Nᵢ × yᵢ) (mod N)

जहाँ N = m₁ × m₂ × … × mₖ, और Nᵢ = N / mᵢ तथा yᵢ वह संख्या है जो Nᵢ × yᵢ ≡ 1 (mod mᵢ) को संतुष्ट करती है।

उदाहरण

निम्नलिखित प्रणाली को हल करें:

x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)

यहाँ m₁ = 2, m₂ = 3, m₃ = 5 अतः N = 2 × 3 × 5 = 30

अब Nᵢ निकालें:

• N₁ = 30/2 = 15
• N₂ = 30/3 = 10
• N₃ = 30/5 = 6

Modular Inverses:

• 15 × y₁ ≡ 1 (mod 2) ⇒ y₁ = 1
• 10 × y₂ ≡ 1 (mod 3) ⇒ y₂ = 1
• 6 × y₃ ≡ 1 (mod 5) ⇒ y₃ = 1

अब:

x ≡ (1×15×1) + (2×10×1) + (3×6×1) = 15 + 20 + 18 = 53 x ≡ 53 mod 30 ⇒ x ≡ 23 (mod 30)

इसलिए समाधान है x ≡ 23 (mod 30)

यदि मॉड्यूलस सहाभाज्य न हों

यदि m₁, m₂, …, mₖ परस्पर सहाभाज्य नहीं हैं, तो समाधान हमेशा मौजूद नहीं होता। इस स्थिति में दो समीकरणों का समाधान तभी होगा जब:

a₁ ≡ a₂ (mod GCD(m₁, m₂))

यदि यह शर्त पूरी नहीं होती, तो प्रणाली असंगत (Inconsistent) होगी।

एल्गोरिद्मिक दृष्टिकोण

1. प्रत्येक मॉड्यूलस mᵢ का गुणनफल निकालें → N।
2. हर समीकरण के लिए Nᵢ = N / mᵢ निकालें।
3. प्रत्येक Nᵢ का Modular Inverse खोजें।
4. x = Σ (aᵢ × Nᵢ × yᵢ) (mod N)
5. अंतिम परिणाम x mod N के रूप में दें।

Python में समाधान

def chinese_remainder(a, n):
    N = 1
    for ni in n:
        N *= ni
    result = 0
    for ai, ni in zip(a, n):
        Ni = N // ni
        yi = pow(Ni, -1, ni)
        result += ai * Ni * yi
    return result % N

a = [1, 2, 3]
n = [2, 3, 5]
print(chinese_remainder(a, n))  # Output: 23

प्रयोग और उपयोग

• क्रिप्टोग्राफी: RSA Decryption में Modular Computations को तेज़ बनाने के लिए।
• डेटा एन्क्रिप्शन: विभिन्न चैनलों से प्राप्त डेटा को एकल रूप में जोड़ने के लिए।
• नेटवर्क सिंक्रोनाइजेशन: Packet Time Alignment में।
• डेटा साइंस: Modular Patterns और Residue Systems के विश्लेषण में।

निष्कर्ष

रेखीय समांग समीकरणों की प्रणाली मॉड्यूलर अंकगणित की उन्नत अवधारणा है, जो अनेक समीकरणों को एकीकृत तरीके से हल करने की सुविधा प्रदान करती है। यह सिद्धांत डेटा सुरक्षा, क्रिप्टोग्राफी और गणनात्मक गणित में दक्षता लाता है। डेटा साइंस में यह मॉड्यूलर डेटा विश्लेषण और एल्गोरिद्मिक ऑप्टिमाइजेशन के लिए एक मजबूत गणितीय आधार प्रदान करता है।