Semigroup: Definition, Properties, and Examples | सेमीग्रुप: परिभाषा, गुण और उदाहरण

सेमीग्रुप (Semigroup) बीजगणितीय संरचना (Algebraic Structure) का एक महत्वपूर्ण प्रकार है जो किसी सेट और एक एसोसिएटिव (Associative) बाइनरी ऑपरेशन से बनता है। यह ग्रुप (Group) सिद्धांत की नींव है और गणित, कंप्यूटर विज्ञान, और ऑटोमाटा थ्योरी में प्रमुख भूमिका निभाता है।

1️⃣ सेमीग्रुप की परिभाषा (Definition of Semigroup)

यदि (S, *) एक बीजगणितीय संरचना है जहाँ:

• S एक गैर-रिक्त समुच्चय (Non-empty Set) है।
• * एक बाइनरी संक्रिया (Binary Operation) है जो S × S → S परिभाषित करती है।
• सभी a, b, c ∈ S के लिए (a * b) * c = a * (b * c) हो।

तो (S, *) को Semigroup कहा जाता है।

अर्थात्, Semigroup दो गुणों पर आधारित होता है:

1. Closure Property (नियतत्व)
2. Associativity (सहसंयोजन)

2️⃣ सेमीग्रुप के गुण (Properties of Semigroup)

• 1. Closure: ∀ a, b ∈ S ⇒ a * b ∈ S
• 2. Associativity: ∀ a, b, c ∈ S ⇒ (a * b) * c = a * (b * c)
• 3. Identity Element (वैकल्पिक): Semigroup में Identity अनिवार्य नहीं होती।
• 4. Inverse Element: हर तत्व का Inverse Semigroup में आवश्यक नहीं होता।

3️⃣ सेमीग्रुप का उदाहरण (Examples of Semigroup)

उदाहरण 1:

(N, +) — Natural Numbers under Addition

• Closure: a + b ∈ N ✔️
• Associative: (a + b) + c = a + (b + c) ✔️
• Identity: नहीं (क्योंकि 0 ∉ N)

इसलिए (N, +) एक Semigroup है, लेकिन Monoid नहीं।

उदाहरण 2:

(Z, ×) — Integers under Multiplication

• Closure: a × b ∈ Z ✔️
• Associativity: (a × b) × c = a × (b × c) ✔️

इसलिए (Z, ×) एक Semigroup है।

उदाहरण 3:

Strings under Concatenation:

मान लीजिए S = {a, b}*, और ऑपरेशन ‘.’ (concatenation) है। तो “ab” . “ba” = “abba” ⇒ Closed and Associative. अतः यह भी Semigroup है।

4️⃣ सेमीग्रुप का Hasse Diagram (Representation)

यदि सेट के तत्व कम हों, तो Semigroup को टेबल या Cayley Table के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।

उदाहरण:

S = {0, 1, 2}, a * b = (a + b) mod 3

   * | 0 1 2
  ---|-------
   0 | 0 1 2
   1 | 1 2 0
   2 | 2 0 1

यहाँ प्रत्येक युग्म का परिणाम S में है और Associative भी है। अतः यह एक Semigroup है।

5️⃣ सेमीग्रुप और अन्य संरचनाओं का संबंध (Relation to Other Structures)

• Monoid: Semigroup + Identity Element
• Group: Monoid + Inverse for every element

अर्थात्, Semigroup सबसे सामान्य और मूलभूत Algebraic Structure है।

6️⃣ सेमीग्रुप के उपयोग (Applications of Semigroup)

• ऑटोमाटा सिद्धांत (Automata Theory) में State Transitions के लिए।
• स्ट्रिंग संयोजन (String Concatenation) में।
• कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में Functional Composition के लिए।
• डिजिटल लॉजिक और Boolean Algebra में।

🔟 निष्कर्ष (Conclusion)

Semigroup बीजगणितीय संरचनाओं का पहला महत्वपूर्ण चरण है। यह हमें दिखाता है कि किसी ऑपरेशन के अंतर्गत संरचना कैसे व्यवहार करती है। Semigroup से ही Monoid और Group जैसी उन्नत संरचनाएँ विकसित होती हैं। “Semigroup is where algebraic order begins.”