First Order Logic and Predicates: Definition, Quantifiers, and Normal Forms | प्रथम क्रम तर्क और प्रेडिकेट्स: परिभाषा, क्वांटिफ़ायर्स और नार्मल फॉर्म्स

प्रथम क्रम तर्क (First Order Logic - FOL) गणितीय तर्कशास्त्र का वह भाग है जो वस्तुओं (Objects) और उनके संबंधों (Relations) के बीच तार्किक कथन बनाता है। यह प्रपोज़िशनल लॉजिक का विस्तार है जिसमें प्रेडिकेट्स (Predicates) और क्वांटिफ़ायर्स (Quantifiers) का प्रयोग किया जाता है। यह कंप्यूटर विज्ञान, डेटाबेस, कृत्रिम बुद्धिमत्ता और गणितीय प्रमाणों में अत्यंत महत्वपूर्ण है।

1️⃣ प्रेडिकेट की परिभाषा (Definition of Predicate)

किसी वाक्य में यदि कोई चर (Variable) शामिल हो और उसका सत्य-मूल्य (Truth Value) उस चर के मान पर निर्भर करे, तो उसे Predicate कहा जाता है।

उदाहरण: “x is a prime number” ⇒ यह तभी सत्य होगा जब x = 2, 3, 5, 7, ... इसलिए यह एक Predicate है जिसे P(x) द्वारा दर्शाया जा सकता है।

2️⃣ प्रेडिकेट के प्रकार (Types of Predicates)

• Unary Predicate: केवल एक चर वाला। उदाहरण: P(x): x > 0
• Binary Predicate: दो चर वाला। उदाहरण: R(x, y): x > y
• n-ary Predicate: n चर वाला। उदाहरण: Q(x, y, z): x + y = z

3️⃣ क्वांटिफ़ायर्स (Quantifiers)

Quantifiers का प्रयोग यह बताने के लिए किया जाता है कि कोई Predicate किन मानों पर सत्य है।

• Universal Quantifier (∀): “सभी के लिए” उदाहरण: ∀x P(x) → “हर x के लिए P(x) सत्य है।”
• Existential Quantifier (∃): “कम से कम एक के लिए” उदाहरण: ∃x P(x) → “कुछ x के लिए P(x) सत्य है।”

उदाहरण:

Predicate: P(x): x² ≥ 0

• ∀x P(x): प्रत्येक x के लिए x² ≥ 0 सत्य है।
• ∃x P(x): कम से कम एक x के लिए x² ≥ 0 सत्य है।

4️⃣ लॉजिकल ऑपरेशन इन प्रेडिकेट लॉजिक (Logical Operations in Predicate Logic)

• Negation: ¬∀x P(x) ⇔ ∃x ¬P(x)
• Conjunction: ∀x (P(x) ∧ Q(x)) ⇔ (∀x P(x)) ∧ (∀x Q(x))
• Disjunction: ∃x (P(x) ∨ Q(x)) ⇔ (∃x P(x)) ∨ (∃x Q(x))

5️⃣ प्रेडिकेट लॉजिक के उदाहरण (Examples of Predicate Logic)

• Example 1: “सभी मनुष्य नश्वर हैं।” ∀x (Human(x) → Mortal(x))
• Example 2: “कुछ लोग ईमानदार हैं।” ∃x (Human(x) ∧ Honest(x))
• Example 3: “हर छात्र जो मेहनत करता है, सफल होता है।” ∀x (Student(x) ∧ Hardworking(x) → Successful(x))

6️⃣ लॉजिकल इम्प्लिकेशन और इक्विवेलेंस (Logical Implication & Equivalence)

Predicate Logic में भी दो कथनों की तुलना उनके सत्य-मूल्यों के आधार पर की जाती है।

• Implication: ∀x (P(x) → Q(x))
• Equivalence: ∀x (P(x) ↔ Q(x))

7️⃣ नॉर्मल फॉर्म्स (Normal Forms)

Predicate Logic में किसी भी कथन को सरल रूप में बदलने के लिए Normal Forms का प्रयोग किया जाता है। दो मुख्य प्रकार हैं:

• Conjunctive Normal Form (CNF): AND का संयोजन जिसमें ORs के समूह होते हैं। उदाहरण: (P ∨ Q) ∧ (¬R ∨ S)
• Disjunctive Normal Form (DNF): OR का संयोजन जिसमें ANDs के समूह होते हैं। उदाहरण: (P ∧ Q) ∨ (¬R ∧ S)

De Morgan's Laws for Quantifiers:

• ¬∀x P(x) ⇔ ∃x ¬P(x)
• ¬∃x P(x) ⇔ ∀x ¬P(x)

8️⃣ क्वांटिफ़ायर का क्रम (Order of Quantifiers)

Quantifiers का क्रम बदलने से कथन का अर्थ बदल सकता है।

• ∀x ∃y P(x, y) → “हर x के लिए कोई y मौजूद है।”
• ∃y ∀x P(x, y) → “ऐसा y है जो हर x के लिए सत्य है।”

9️⃣ अनुप्रयोग (Applications of Predicate Logic)

• Artificial Intelligence में Knowledge Representation
• Database Query Languages (SQL, Prolog)
• Mathematical Theorem Proving
• Natural Language Processing (NLP)

🔟 निष्कर्ष (Conclusion)

Predicate और Quantifier तर्क की दुनिया में गहराई जोड़ते हैं। वे केवल “क्या सत्य है” नहीं बताते, बल्कि “किसके लिए सत्य है” यह भी स्पष्ट करते हैं। “First Order Logic gives logic the power to describe the world.”