Monoid: Concept, Identity Element, and Properties | मोनॉइड: अवधारणा, एकात्मक तत्व और गुण

मोनॉइड (Monoid) बीजगणितीय संरचना (Algebraic Structure) का एक महत्वपूर्ण प्रकार है, जो Semigroup का विस्तार है। इस संरचना में एक विशेष तत्व मौजूद होता है जिसे एकात्मक तत्व (Identity Element) कहा जाता है। मोनॉइड का अध्ययन गणित, कंप्यूटर विज्ञान, ऑटोमाटा थ्योरी, प्रोग्रामिंग, और लॉजिक डिजाइन में व्यापक रूप से किया जाता है।

1️⃣ मोनॉइड की परिभाषा (Definition of Monoid)

यदि (M, *) एक बीजगणितीय संरचना है जहाँ:

1. M एक गैर-रिक्त समुच्चय (Non-empty Set) है।
2. * एक बाइनरी संक्रिया (Binary Operation) है जो M × M → M परिभाषित करती है।
3. सभी a, b, c ∈ M के लिए (a * b) * c = a * (b * c) (Associativity)।
4. कोई ऐसा तत्व e ∈ M मौजूद है जिसके लिए a * e = e * a = a (Identity Element)।

तो (M, *) को Monoid कहा जाता है।

अर्थात्, Monoid में Semigroup के दोनों गुण (Closure और Associativity) के साथ एक अतिरिक्त गुण — Identity Element जोड़ा जाता है।

2️⃣ मोनॉइड की विशेषताएँ (Essential Properties of Monoid)

• Closure: ∀ a, b ∈ M ⇒ a * b ∈ M
• Associativity: ∀ a, b, c ∈ M ⇒ (a * b) * c = a * (b * c)
• Existence of Identity Element: ∃ e ∈ M such that ∀ a ∈ M, a * e = e * a = a

3️⃣ मोनॉइड के प्रकार (Types of Monoid)

• Commutative Monoid: यदि a * b = b * a ∀ a, b ∈ M, तो Monoid Commutative कहलाता है।
• Non-Commutative Monoid: यदि कुछ तत्वों के लिए a * b ≠ b * a हो, तो यह Non-Commutative Monoid होता है।

4️⃣ एकात्मक तत्व (Identity Element)

Identity Element वह तत्व होता है जो किसी भी तत्व के साथ ऑपरेशन करने पर वही परिणाम देता है। इसका उद्देश्य संरचना को स्थिरता प्रदान करना है।

उदाहरण:

• (N, +) → Identity = 0 क्योंकि a + 0 = 0 + a = a
• (N, ×) → Identity = 1 क्योंकि a × 1 = 1 × a = a

5️⃣ मोनॉइड के उदाहरण (Examples of Monoid)

उदाहरण 1:

(N, +) — Natural numbers under addition:

• Closure: a + b ∈ N ✔️
• Associative: (a + b) + c = a + (b + c) ✔️
• Identity: 0 ✔️

इसलिए (N, +) एक Monoid है।

उदाहरण 2:

(N, ×) — Natural numbers under multiplication:

• Closure: a × b ∈ N ✔️
• Associativity: (a × b) × c = a × (b × c) ✔️
• Identity: 1 ✔️

अतः (N, ×) भी एक Monoid है।

उदाहरण 3:

(Σ*, concatenation) — String set under concatenation:

यदि Σ = {a, b}, तो Σ* = {ε, a, b, ab, ba, ...}

• Operation: Concatenation of strings
• Identity: ε (empty string), क्योंकि aε = εa = a

उदाहरण 4:

Square matrices under multiplication (Matrix Multiplication): Identity Element = Identity Matrix (I)

6️⃣ मोनॉइड के गुण (Properties of Monoid)

• Unique Identity: किसी Monoid में Identity Element एक ही होता है।
• Closure: सभी ऑपरेशन्स के परिणाम सेट के अंदर होते हैं।
• Associative Law: सभी संयोजनों पर समान परिणाम मिलता है।
• Commutativity (optional): कुछ Monoid commutative होते हैं।

7️⃣ Cayley Table द्वारा मोनॉइड का निरूपण (Cayley Table Representation)

मान लीजिए S = {0, 1, 2} और Operation * = (a + b) mod 3

   * | 0 1 2
  ---|-------
   0 | 0 1 2
   1 | 1 2 0
   2 | 2 0 1

यहाँ 0 एक Identity Element है क्योंकि a * 0 = a और 0 * a = a

8️⃣ मोनॉइड और अन्य बीजगणितीय संरचनाओं का संबंध

• Semigroup: केवल Closure और Associativity
• Monoid: Semigroup + Identity
• Group: Monoid + Inverse

9️⃣ मोनॉइड के अनुप्रयोग (Applications of Monoid)

• ऑटोमाटा थ्योरी में स्ट्रिंग प्रोसेसिंग के लिए।
• Functional Programming में Function Composition के लिए।
• कंप्यूटर एल्गोरिद्म में Data Aggregation के लिए।
• लॉजिक सर्किट्स और Boolean Systems में।
• डेटाबेस सिस्टम में Query Combination के लिए।

🔟 निष्कर्ष (Conclusion)

Monoid, Algebraic Structure का एक संतुलित और स्थायी रूप है। यह हमें दिखाता है कि कैसे एक ऑपरेशन और एक Identity मिलकर एक स्थिर प्रणाली बनाते हैं। Semigroup से Group की दिशा में यह एक स्वाभाविक अगला कदम है। “Monoid is the perfect balance between structure and identity.”