Relations: Definition, Representation, and Types of Relations | संबंध: परिभाषा, निरूपण और प्रकार

गणित और कंप्यूटर विज्ञान में Relation (संबंध) एक ऐसा सिद्धांत है जो दो या अधिक समुच्चयों (Sets) के तत्वों के बीच संबंध को दर्शाता है। Relation का प्रयोग डेटा स्ट्रक्चर, डेटाबेस डिजाइन, लॉजिक और फंक्शनल एनालिसिस जैसे क्षेत्रों में किया जाता है। यह Discrete Mathematics की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है।

1️⃣ संबंध की परिभाषा (Definition of Relation)

यदि A और B दो सेट हैं, तो A से B पर एक Relation R को A × B के एक उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है। अर्थात्, R ⊆ A × B। यह उन सभी युग्मों (a, b) का समूह होता है जहाँ ‘a’ A का सदस्य है और ‘b’ B का सदस्य है, तथा a और b के बीच कोई तार्किक संबंध मौजूद है।

उदाहरण:

यदि A = {1, 2, 3} और B = {4, 5, 6} हो, तो R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} एक Relation है जो “a का संबंध b से है” को दर्शाता है।

2️⃣ Relation का निरूपण (Representation of Relations)

Relations को तीन प्रमुख तरीकों से प्रदर्शित किया जाता है:

• Roster Form: युग्मों की सूची के रूप में — जैसे R = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}।
• Set Builder Form: शर्तों के रूप में — R = {(a, b) | a < b, a ∈ A, b ∈ B}
• Arrow Diagram: ग्राफिकल रूप से बिंदुओं और तीरों के माध्यम से।

3️⃣ Relation के प्रकार (Types of Relations)

किसी भी Relation के कुछ विशिष्ट गुणों के आधार पर उसे अलग-अलग प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है:

1. Reflexive Relation (स्व-सम्बंधी संबंध)

यदि प्रत्येक a ∈ A के लिए (a, a) ∈ R हो, तो R एक Reflexive Relation है। उदाहरण: R = {(1,1), (2,2), (3,3)} on A = {1,2,3}।

2. Symmetric Relation (समानांतर संबंध)

यदि (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R भी सत्य हो, तो R Symmetric Relation है। उदाहरण: यदि R = {(1,2), (2,1)}, तो यह Symmetric है।

3. Transitive Relation (सांक्रमिक संबंध)

यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R, तो R Transitive Relation है। उदाहरण: यदि R = {(1,2), (2,3), (1,3)}, तो यह Transitive है।

4. Irreflexive Relation (अस्व-सम्बंधी)

यदि किसी भी a ∈ A के लिए (a, a) ∉ R हो, तो R Irreflexive है।

5. Anti-symmetric Relation (विरुद्ध-समानांतर संबंध)

यदि (a, b) ∈ R और (b, a) ∈ R ⇒ a = b हो, तो R Anti-symmetric Relation है। उदाहरण: “≤” Relation Anti-symmetric है।

4️⃣ Relations के उदाहरण

• ‘<’ या ‘>’ Relation Transitive और Irreflexive होते हैं।
• ‘=’ Relation Reflexive, Symmetric और Transitive होता है।
• ‘≤’ Relation Reflexive और Transitive होता है।

5️⃣ Relation का ग्राफिकल निरूपण (Graphical Representation)

Relations को Directed Graph (Digraph) के माध्यम से दर्शाया जा सकता है, जहाँ प्रत्येक तत्व एक Vertex होता है और प्रत्येक Ordered Pair एक Directed Edge।

यदि R = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}, तो यह एक Directed Cycle दर्शाता है।

6️⃣ Composition of Relations (संबंधों का संयोजन)

यदि R₁ ⊆ A × B और R₂ ⊆ B × C हो, तो R₁ और R₂ का Composition एक नया Relation है:

R₂ ∘ R₁ = {(a, c) | ∃ b ∈ B such that (a, b) ∈ R₁ and (b, c) ∈ R₂}

उदाहरण:

यदि R₁ = {(1, 2), (2, 3)} और R₂ = {(2, 4), (3, 5)}, तो R₂ ∘ R₁ = {(1, 4), (2, 5)}

🔟 निष्कर्ष (Conclusion)

Relations गणितीय संरचनाओं का आधार हैं। ये हमें तत्वों के बीच संबंधों का तार्किक विश्लेषण करने की क्षमता प्रदान करते हैं। कंप्यूटर साइंस में, Relations डेटाबेस मॉडल, फंक्शनल डिपेंडेंसी और लॉजिक प्रोग्रामिंग में अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। याद रखें — “Every connection in logic is a relation in mathematics.”