Composition of Relations and Their Properties | संबंधों का संयोजन और उनके गुण

गणित और कंप्यूटर विज्ञान में Relation (संबंध) दो या अधिक सेटों के तत्वों के बीच संबंध को दर्शाता है। जब दो या अधिक संबंधों को आपस में जोड़ा जाता है ताकि एक नया संबंध बने, तो उसे Composition of Relations (संबंधों का संयोजन) कहा जाता है। यह Discrete Structure का एक मूलभूत सिद्धांत है, जो फंक्शन्स, लॉजिक, और डेटाबेस में विशेष महत्व रखता है।

1️⃣ संबंधों का संयोजन (Definition of Composition of Relations)

मान लीजिए हमारे पास तीन सेट A, B और C हैं। यदि R₁ एक संबंध है A से B पर (R₁ ⊆ A × B) और R₂ एक संबंध है B से C पर (R₂ ⊆ B × C), तो R₁ और R₂ का संयोजन R₂ ∘ R₁ एक नया संबंध है A से C पर, जो इस प्रकार परिभाषित होता है:

R₂ ∘ R₁ = {(a, c) | ∃ b ∈ B such that (a, b) ∈ R₁ and (b, c) ∈ R₂}

सरल शब्दों में:

यदि “a का संबंध b से है” और “b का संबंध c से है” तो “a का संबंध c से होगा।”

2️⃣ उदाहरण (Example)

मान लीजिए:

• A = {1, 2, 3}
• B = {4, 5, 6}
• C = {7, 8, 9}

और संबंध दिए गए हैं:

• R₁ = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
• R₂ = {(4, 7), (5, 8), (6, 9)}

तब R₂ ∘ R₁ = {(1, 7), (2, 8), (3, 9)} होगा। इस प्रकार, हमने A से C पर एक नया संबंध प्राप्त किया।

3️⃣ संबंधों के संयोजन का निरूपण (Representation of Composition of Relations)

Relation Composition को कई तरीकों से प्रदर्शित किया जा सकता है:

• Roster Form: सभी Ordered Pairs को सूचीबद्ध करके।
• Set Builder Form: नियम के रूप में — R₂ ∘ R₁ = {(a, c) | (a, b) ∈ R₁ और (b, c) ∈ R₂}
• Matrix Form: Boolean Matrix Multiplication द्वारा।
• Graphical Representation: Directed Graph (Digraph) के माध्यम से।

4️⃣ मैट्रिक्स निरूपण (Matrix Representation of Relation Composition)

यदि R₁ और R₂ को Boolean Matrices द्वारा प्रदर्शित किया गया हो, तो उनका Composition Boolean Matrix Multiplication द्वारा प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण:

मान लीजिए R₁ और R₂ के Boolean matrices इस प्रकार हैं:

R₁ =
1 0 1
0 1 0
1 0 0

R₂ =
0 1 1
1 0 1
0 1 0

तब R₂ ∘ R₁ = R₁ × R₂ होगा, जहाँ Boolean multiplication में 1 × 1 = 1 और 1 + 1 = 1।

5️⃣ संबंधों के संयोजन के गुण (Properties of Composition of Relations)

• Associativity: (R₃ ∘ R₂) ∘ R₁ = R₃ ∘ (R₂ ∘ R₁)
• Non-Commutativity: सामान्यतः R₁ ∘ R₂ ≠ R₂ ∘ R₁
• Identity Relation: यदि I एक Identity Relation है, तो R ∘ I = I ∘ R = R
• Inverse Relation: (R₂ ∘ R₁)⁻¹ = R₁⁻¹ ∘ R₂⁻¹

6️⃣ संबंधों के संयोजन के उपयोग (Applications)

• डेटाबेस सिस्टम में टेबल्स के बीच संबंधों को जोड़ने के लिए।
• लॉजिकल प्रोग्रामिंग और रीजनिंग में निष्कर्ष निकालने के लिए।
• फंक्शन्स की श्रृंखला में इनपुट और आउटपुट को जोड़ने के लिए।
• Graph Theory में Vertex Connectivity समझने के लिए।

🔟 निष्कर्ष (Conclusion)

संबंधों का संयोजन Discrete Structure की एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह हमें जटिल संबंधों को सरल और संगठित रूप में प्रस्तुत करने में मदद करता है। गणितीय मॉडलिंग, डेटा एनालिसिस और लॉजिक डिज़ाइन में इसका व्यापक उपयोग होता है। याद रखें — “Combining relations builds the foundation of logical connectivity.”