Normal Subgroup: Definition, Properties, and Examples | सामान्य उपसमूह: परिभाषा, गुण और उदाहरण


Normal Subgroup: Definition, Properties, and Examples | सामान्य उपसमूह: परिभाषा, गुण और उदाहरण

सामान्य उपसमूह (Normal Subgroup) समूह सिद्धांत (Group Theory) की एक मूलभूत अवधारणा है, जो समूहों की संरचना और उनके विभाजन (Factorization) को समझने में मदद करती है। यह एक ऐसा उपसमूह होता है जो समूह के प्रत्येक तत्व के साथ संयोजन (Conjugation) के बाद भी अपरिवर्तित रहता है।

1️⃣ सामान्य उपसमूह की परिभाषा (Definition of Normal Subgroup)

किसी समूह (G, *) का एक उपसमूह N सामान्य (Normal) कहलाता है यदि वह निम्नलिखित शर्त पूरी करे:

∀ a ∈ G, aN = Na

अर्थात्, प्रत्येक a ∈ G के लिए बाएँ कोसेट (Left Coset) और दाएँ कोसेट (Right Coset) समान हों।

या समतुल्य रूप से:

∀ a ∈ G, aNa⁻¹ = N

इस स्थिति में N को Normal Subgroup कहा जाता है और इसे प्रतीकात्मक रूप में लिखा जाता है:

N ⊲ G

2️⃣ सामान्य उपसमूह के गुण (Properties of Normal Subgroup)

  • Identity Element हमेशा Normal Subgroup में होता है।
  • पूरा समूह G स्वयं भी G का Normal Subgroup होता है।
  • यदि N ⊲ G, तो ∀ a ∈ G और n ∈ N ⇒ a n a⁻¹ ∈ N
  • Normal Subgroup के सभी बाएँ और दाएँ कोसेट समान होते हैं।
  • Normal Subgroup का उपयोग Quotient Group (G/N) बनाने में होता है।

3️⃣ सामान्य उपसमूह का उदाहरण (Examples of Normal Subgroup)

उदाहरण 1:

(Z, +) — Integers under addition

किसी भी n ∈ Z के लिए nZ = {nk | k ∈ Z}

क्योंकि जोड़ के अंतर्गत प्रत्येक कोसेट समान व्यवहार करता है, इसलिए nZ एक Normal Subgroup है।

उदाहरण 2:

G = (Z₆, +₆), N = {0, 3}

  • N उपसमूह है क्योंकि 3 + 3 ≡ 0 mod 6
  • और हर कोसेट समान रूप से व्यवहार करता है ⇒ N ⊲ G

उदाहरण 3:

G = Group of all 2×2 invertible matrices under multiplication

N = Set of scalar matrices (kI) where k ≠ 0

यह N, G का Normal Subgroup है क्योंकि प्रत्येक matrix conjugation के बाद भी scalar form में रहता है।

4️⃣ बाएँ और दाएँ कोसेट (Left and Right Cosets)

किसी समूह G और उपसमूह N के लिए:

  • Left Coset: aN = {a * n | n ∈ N}
  • Right Coset: Na = {n * a | n ∈ N}

यदि ∀ a ∈ G ⇒ aN = Na, तो N सामान्य उपसमूह कहलाता है।

5️⃣ सामान्य उपसमूह की पहचान के तरीके (Tests for Normality)

  • 1. Conjugation Test: यदि ∀ a ∈ G ⇒ aNa⁻¹ = N
  • 2. Coset Test: यदि सभी बाएँ और दाएँ कोसेट समान हों।
  • 3. Homomorphism Test: किसी समूह के होमोमॉर्फिज़्म का kernel हमेशा Normal Subgroup होता है।

6️⃣ सामान्य उपसमूह के गुणधर्म (Theorems)

  • यदि H ⊲ G और K ⊲ G ⇒ H ∩ K ⊲ G
  • यदि H ⊲ G और K ⊲ G ⇒ HK ⊲ G (यदि G Abelian है)
  • यदि φ : G → G' एक होमोमॉर्फिज़्म है, तो ker(φ) ⊲ G

7️⃣ सामान्य उपसमूह से Quotient Group बनाना (Formation of Quotient Group)

यदि N ⊲ G, तो G/N = {aN | a ∈ G} एक समूह बनाता है।

यह नया समूह Quotient Group कहलाता है, और इसका ऑपरेशन निम्न प्रकार परिभाषित है:

(aN)(bN) = (ab)N

उदाहरण:

G = (Z₆, +₆), N = {0, 3}

तब G/N = {N, 1+N, 2+N}

जो Z₃ के समान संरचना रखता है।

8️⃣ Cayley Table द्वारा उदाहरण

G = (Z₄, +₄), N = {0, 2}

  +₄ | 0 1 2 3
  ---|---------
   0 | 0 1 2 3
   1 | 1 2 3 0
   2 | 2 3 0 1
   3 | 3 0 1 2

यहाँ N सामान्य उपसमूह है क्योंकि 1N = N1 और 3N = N3।

9️⃣ सामान्य उपसमूह के अनुप्रयोग (Applications)

  • Group Homomorphism और Quotient Groups की संरचना में।
  • Abstract Algebra और Modular Arithmetic में।
  • Cryptography और Coding Systems में।
  • Symmetry और Geometric Transformations में।

🔟 निष्कर्ष (Conclusion)

सामान्य उपसमूह समूह सिद्धांत में संरचना की स्थिरता का प्रतिनिधित्व करता है। यह हमें बताता है कि समूह को कैसे छोटे भागों में विभाजित किया जा सकता है और हर भाग किस प्रकार समूह के नियमों का पालन करता है। “Normal subgroups are the building blocks of group structure.”

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