Propositional Logic: Definition, Logical Operations, and Truth Tables | प्रपोज़िशनल लॉजिक: परिभाषा, लॉजिकल ऑपरेशन और ट्रुथ टेबल्स

प्रपोज़िशनल लॉजिक (Propositional Logic) गणितीय तर्कशास्त्र की नींव है। यह कथनों (Statements) या प्रस्तावों (Propositions) का विश्लेषण करता है जो या तो सत्य (True) या असत्य (False) हो सकते हैं। इसका प्रयोग कंप्यूटर विज्ञान, कृत्रिम बुद्धिमत्ता, और एल्गोरिद्मिक तर्क (Algorithmic Reasoning) में व्यापक रूप से किया जाता है।

1️⃣ प्रपोज़िशन की परिभाषा (Definition of Proposition)

Proposition एक ऐसा कथन होता है जो या तो सत्य (True) होता है या असत्य (False), लेकिन दोनों एक साथ नहीं।

उदाहरण:

• “2 + 2 = 4” → True Proposition
• “Delhi is the capital of India” → True
• “5 is less than 2” → False
• “x + 2 = 5” → Proposition नहीं (क्योंकि x का मान अज्ञात है)

2️⃣ लॉजिकल ऑपरेशन्स (Logical Operations)

Propositions को जोड़ने के लिए पाँच मूलभूत Logical Operations होते हैं:

1. Negation (¬P): यदि P सत्य है तो ¬P असत्य होगा और इसके विपरीत।
2. Conjunction (P ∧ Q): यह तभी सत्य होता है जब P और Q दोनों सत्य हों।
3. Disjunction (P ∨ Q): यह तभी असत्य होता है जब दोनों असत्य हों।
4. Implication (P → Q): यह तभी असत्य होता है जब P सत्य और Q असत्य हो।
5. Biconditional (P ↔ Q): यह तभी सत्य होता है जब P और Q दोनों का सत्य-मूल्य समान हो।

3️⃣ ट्रुथ टेबल्स (Truth Tables)

(1) Negation

P	¬P
T	F
F	T

(2) Conjunction

P	Q	P ∧ Q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

(3) Disjunction

P	Q	P ∨ Q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

(4) Implication

P	Q	P → Q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

(5) Biconditional

P	Q	P ↔ Q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

4️⃣ तात्त्विकता और विरोधाभास (Tautology and Contradiction)

• Tautology: वह Proposition जो सभी परिस्थितियों में सत्य हो। उदाहरण: P ∨ ¬P
• Contradiction: वह Proposition जो सभी परिस्थितियों में असत्य हो। उदाहरण: P ∧ ¬P

5️⃣ लॉजिकल इम्प्लिकेशन और इक्विवेलेंस (Logical Implication & Equivalence)

• Implication (→): यदि P → Q सत्य है, तो P के सत्य होने पर Q भी सत्य होना चाहिए।
• Equivalence (↔): दो Propositions तभी Equivalent होंगे जब उनके Truth Values समान हों।

6️⃣ लॉजिकल एल्जेब्रा (Algebra of Propositions)

कुछ बुनियादी नियम:

• Commutative Law: P ∨ Q = Q ∨ P
• Associative Law: (P ∨ Q) ∨ R = P ∨ (Q ∨ R)
• Distributive Law: P ∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
• De Morgan’s Laws: ¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q

7️⃣ अनुप्रयोग (Applications)

• Digital Circuit Design
• Artificial Intelligence (AI)
• Database Query Optimization
• Algorithmic Reasoning

🔟 निष्कर्ष (Conclusion)

Propositional Logic तर्क की भाषा है। यह किसी भी तर्क या प्रोग्राम की सत्यता को मापने का गणितीय तरीका प्रदान करती है। “Logic is the grammar of reason.”