Lattice and Hasse Diagram: Definition, Construction, and Properties | लैटिस और हास्से आरेख: परिभाषा, निर्माण और गुण

लैटिस (Lattice) और हास्से आरेख (Hasse Diagram) गणित के “संबंध और क्रम” (Relations and Order) पर आधारित महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं। ये Discrete Mathematics और Computer Science में विशेष रूप से उपयोगी हैं, क्योंकि ये संरचनात्मक संबंधों और तत्वों के पदानुक्रम (Hierarchy) को प्रदर्शित करते हैं।

1️⃣ लैटिस की परिभाषा (Definition of Lattice)

यदि किसी Partially Ordered Set (Poset) में प्रत्येक युग्म (pair) के लिए:

• एक Least Upper Bound (LUB) या Join (∨) मौजूद हो, और
• एक Greatest Lower Bound (GLB) या Meet (∧) मौजूद हो,

तो उस Poset को Lattice कहा जाता है।

अर्थात्, किसी भी दो तत्व a और b के लिए:

a ∨ b = उनका Least Upper Bound
a ∧ b = उनका Greatest Lower Bound

2️⃣ लैटिस के प्रकार (Types of Lattice)

• 1. Bounded Lattice: यदि लैटिस में न्यूनतम (0) और अधिकतम (1) तत्व मौजूद हों।
• 2. Distributive Lattice: यदि किसी भी a, b, c ∈ L के लिए a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
• 3. Complemented Lattice: यदि प्रत्येक तत्व a के लिए कोई a′ ∈ L मौजूद हो ताकि a ∧ a′ = 0 और a ∨ a′ = 1
• 4. Boolean Lattice: यदि L bounded, distributive और complemented हो।

3️⃣ लैटिस के उदाहरण (Examples of Lattice)

उदाहरण 1:

सेट {1, 2, 3, 6} को “Divides Relation (|)” के अंतर्गत देखें:

• 1 | 2, 1 | 3, 2 | 6, 3 | 6
• इस Poset में प्रत्येक युग्म का LUB और GLB मौजूद है। अतः यह एक Lattice है।

उदाहरण 2:

सेट {0, 1} पर “≤” संबंध के अंतर्गत:

• 0 ∧ 1 = 0 (Meet)
• 0 ∨ 1 = 1 (Join)

यह सबसे सरल Lattice है।

उदाहरण 3:

Power Set P({a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} जहाँ ∧ = Intersection और ∨ = Union

यह भी एक Lattice है क्योंकि हर दो subsets का meet और join मौजूद है।

4️⃣ हास्से आरेख की परिभाषा (Definition of Hasse Diagram)

Hasse Diagram एक आरेखीय निरूपण (Graphical Representation) है जो किसी Partial Order को प्रदर्शित करता है। यह तत्वों के बीच “≤” संबंधों को दिखाता है, किन्तु transitive और reflexive edges को छोड़ दिया जाता है।

5️⃣ हास्से आरेख बनाने के नियम (Rules for Constructing a Hasse Diagram)

1. Poset के सभी तत्वों को बिंदु के रूप में दर्शाएँ।
2. यदि a ≤ b और a ≠ b, तो a से b तक एक रेखा (edge) खींचें।
3. यदि a ≤ b ≤ c हो, तो a से c तक की transitive edge नहीं खींची जाती।
4. निचले तत्व नीचे और ऊपरी तत्व ऊपर रखे जाते हैं।

उदाहरण:

सेट {1, 2, 3, 6} पर “divides” संबंध के अंतर्गत Hasse Diagram:

      6
     / 
    2   3
      /
      1

यहाँ 1 सबसे छोटा (least element) और 6 सबसे बड़ा (greatest element) है।

6️⃣ लैटिस के गुण (Properties of Lattice)

• Idempotent: a ∨ a = a, a ∧ a = a
• Commutative: a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a
• Associative: (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
• Absorption: a ∨ (a ∧ b) = a, a ∧ (a ∨ b) = a

7️⃣ Distributive और Complemented Lattice

• Distributive ⇒ a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
• Complemented ⇒ ∀ a, ∃ a′ such that a ∧ a′ = 0, a ∨ a′ = 1

यदि कोई Lattice दोनों Distributive और Complemented है, तो वह Boolean Lattice कहलाती है।

8️⃣ लैटिस और हास्से आरेख के अनुप्रयोग (Applications)

• Database hierarchy और dependency modeling में।
• Computer hardware design (Logic Gates representation) में।
• Formal logic, switching theory और Boolean algebra में।
• Mathematical order structure analysis में।

🔟 निष्कर्ष (Conclusion)

लैटिस और हास्से आरेख संरचना की दृश्य और तर्कसंगत समझ प्रदान करते हैं। ये दिखाते हैं कि विभिन्न तत्व आपस में किस प्रकार संबंध रखते हैं और किस स्तर पर स्थित हैं। “Lattices organize logic, Hasse Diagrams visualize it.”