Cyclic Group: Definition, Properties, and Generators | चक्रीय समूह: परिभाषा, गुण और जनक तत्व

चक्रीय समूह (Cyclic Group) समूह सिद्धांत (Group Theory) का एक विशेष प्रकार है, जिसे एकमात्र तत्व द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। यह गणित, क्रिप्टोग्राफी, कोडिंग सिद्धांत, और डेटा एन्क्रिप्शन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। चक्रीय समूह की अवधारणा सादगी और शक्ति दोनों का प्रतिनिधित्व करती है।

1️⃣ चक्रीय समूह की परिभाषा (Definition of Cyclic Group)

यदि किसी समूह (G, *) में एक ऐसा तत्व g ∈ G मौजूद है कि समूह का प्रत्येक अन्य तत्व g की किसी शक्ति के रूप में लिखा जा सके, तो (G, *) को चक्रीय समूह (Cyclic Group) कहा जाता है।

अर्थात्:

G = { gⁿ | n ∈ Z }

यहाँ g को Generator (जनक तत्व) कहा जाता है।

2️⃣ चक्रीय समूह के उदाहरण (Examples of Cyclic Groups)

उदाहरण 1:

(Z, +) — सभी पूर्णांक जोड़ के अंतर्गत एक चक्रीय समूह बनाते हैं। इसका जनक (Generator) 1 या -1 होता है क्योंकि हर संख्या n = 1 + 1 + ... + 1 (n बार) या -1 के जोड़ से प्राप्त होती है।

उदाहरण 2:

(Z₆, +₆) — Integers modulo 6 under addition mod 6:

G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

यदि g = 1 हो, तो

⟨1⟩ = {1, 2, 3, 4, 5, 0} = Z₆

अतः 1 एक Generator है।

उदाहरण 3:

(Z₄, +₄) — Elements: {0, 1, 2, 3}

⟨1⟩ = {1, 2, 3, 0} → Generator = 1 ⟨2⟩ = {2, 0} → Generator नहीं

अतः (Z₄, +₄) एक चक्रीय समूह है जिसका जनक 1 है।

उदाहरण 4:

(R-{0}, ×) — Multiplicative group of non-zero reals is not cyclic because no real number generates all others through powers.

3️⃣ जनक तत्व (Generator of a Cyclic Group)

चक्रीय समूह में जनक तत्व वह होता है जिससे समूह के सभी तत्व उत्पन्न किए जा सकते हैं।

यदि G = ⟨g⟩ है, तो g को Generator कहा जाता है। Cyclic Group finite या infinite हो सकता है।

• Infinite Cyclic Group → Generator के सभी धनात्मक और ऋणात्मक घात मौजूद रहते हैं।
• Finite Cyclic Group → Generator के कुछ घातों के बाद पुनरावृत्ति होती है।

4️⃣ चक्रीय समूह के गुणधर्म (Properties of Cyclic Group)

• प्रत्येक चक्रीय समूह Abelian होता है।
• Finite cyclic group के प्रत्येक तत्व का order group के order को divide करता है।
• यदि G का order n है, तो Generator g का order भी n होता है।
• Finite cyclic group के हर उपसमूह (subgroup) भी cyclic होता है।

5️⃣ तत्व का ऑर्डर (Order of an Element)

किसी समूह के किसी तत्व g का order वह सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n होता है जिसके लिए gⁿ = e (identity element)।

यदि ऐसा n मौजूद न हो, तो g का order अनंत (infinite) कहलाता है।

6️⃣ चक्रीय समूह के उपसमूह (Subgroups of Cyclic Group)

• यदि G एक cyclic group है और उसका order n है, तो G के सभी उपसमूह भी cyclic होते हैं।
• G का प्रत्येक उपसमूह किसी d के लिए ⟨gᵈ⟩ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ d | n।

7️⃣ चक्रीय समूह के गुण (Key Theorems)

• हर finite cyclic group Abelian होता है।
• यदि G = ⟨g⟩ और |G| = n, तो gᵏ generator होगा तब और केवल तब जब gcd(k, n) = 1।
• G का प्रत्येक उपसमूह ⟨gᵈ⟩ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ d divides n।

8️⃣ Cayley Table Representation

मान लीजिए G = (Z₄, +₄) → Elements = {0, 1, 2, 3}

   +₄ | 0 1 2 3
   ---|----------
    0 | 0 1 2 3
    1 | 1 2 3 0
    2 | 2 3 0 1
    3 | 3 0 1 2

यह पूरी तरह चक्रीय समूह को दर्शाता है, क्योंकि 1 के घातों से सभी तत्व प्राप्त हो सकते हैं।

9️⃣ चक्रीय समूह के उपयोग (Applications)

• पब्लिक की क्रिप्टोग्राफी (RSA, Diffie-Hellman) में।
• Finite field arithmetic में।
• ग्रुप कोडिंग और सिग्नल प्रोसेसिंग में।
• क्वांटम और सिमेट्रिक सिस्टम्स के मॉडलिंग में।

🔟 निष्कर्ष (Conclusion)

चक्रीय समूह समूह सिद्धांत की सबसे सुंदर संरचनाओं में से एक है। यह सरलता और पूर्णता दोनों का उदाहरण है। सिर्फ एक तत्व से पूरी प्रणाली को उत्पन्न करना गणितीय संगठन का अद्भुत रूप है। “Every cyclic group is a universe born from a single generator.”