Groups: Definition, Properties, and Examples | समूह: परिभाषा, गुण और उदाहरण


Groups: Definition, Properties, and Examples | समूह: परिभाषा, गुण और उदाहरण

समूह (Group) बीजगणितीय संरचना (Algebraic Structure) का एक अत्यंत महत्वपूर्ण प्रकार है। यह Monoid का एक विस्तार है जिसमें प्रत्येक तत्व का प्रतिलोम (Inverse Element) मौजूद होता है। समूह की अवधारणा गणित, भौतिकी, क्रिप्टोग्राफी, कंप्यूटर विज्ञान, और एल्गोरिद्म में व्यापक रूप से उपयोग होती है।

1️⃣ समूह की परिभाषा (Definition of Group)

यदि (G, *) एक बीजगणितीय संरचना है जहाँ:

  1. G एक गैर-रिक्त समुच्चय (Non-empty Set) है।
  2. * एक बाइनरी संक्रिया (Binary Operation) है जो G × G → G परिभाषित करती है।
  3. Closure: ∀ a, b ∈ G ⇒ a * b ∈ G
  4. Associativity: ∀ a, b, c ∈ G ⇒ (a * b) * c = a * (b * c)
  5. Identity: ∃ e ∈ G such that a * e = e * a = a
  6. Inverse: ∀ a ∈ G, ∃ a⁻¹ ∈ G such that a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e

तो (G, *) को Group कहा जाता है।

2️⃣ समूह के आवश्यक गुण (Essential Properties of Group)

  • 1. Closure: किसी भी दो तत्वों का ऑपरेशन समूह के भीतर परिणाम देता है।
  • 2. Associativity: ऑपरेशन के समूह बदलने से परिणाम नहीं बदलता।
  • 3. Identity Element: ऐसा तत्व जो किसी भी अन्य तत्व को प्रभावित नहीं करता।
  • 4. Inverse Element: प्रत्येक तत्व का प्रतिलोम मौजूद होता है।

3️⃣ समूह के प्रकार (Types of Groups)

  • 1. Commutative (Abelian) Group: यदि ∀ a, b ∈ G ⇒ a * b = b * a
  • 2. Non-Abelian Group: यदि कुछ a, b के लिए a * b ≠ b * a
  • 3. Finite Group: जिसमें तत्वों की संख्या सीमित हो।
  • 4. Infinite Group: जिसमें तत्वों की संख्या असीमित हो।

4️⃣ समूह के उदाहरण (Examples of Groups)

उदाहरण 1:

(Z, +) — Integers under addition

  • Closure: a + b ∈ Z ✔️
  • Associative: (a + b) + c = a + (b + c) ✔️
  • Identity: 0 ✔️
  • Inverse: -a ✔️

अतः (Z, +) एक Abelian Group है।

उदाहरण 2:

(R-{0}, ×) — Non-zero real numbers under multiplication

  • Closure: a × b ∈ R-{0}
  • Associative: (a × b) × c = a × (b × c)
  • Identity: 1
  • Inverse: 1/a

अतः यह भी एक Abelian Group है।

उदाहरण 3:

Matrix Multiplication — Invertible matrices under multiplication form a Non-Abelian Group क्योंकि A × B ≠ B × A।

उदाहरण 4:

(Z₆, +₆) — Integers mod 6 under addition mod 6

   +₆ | 0 1 2 3 4 5
   ---|--------------
    0 | 0 1 2 3 4 5
    1 | 1 2 3 4 5 0
    2 | 2 3 4 5 0 1
    3 | 3 4 5 0 1 2
    4 | 4 5 0 1 2 3
    5 | 5 0 1 2 3 4

यह एक Finite Abelian Group है।

5️⃣ समूह के गुणधर्म (Properties of Group)

  • Uniqueness of Identity: प्रत्येक समूह में केवल एक Identity होती है।
  • Uniqueness of Inverse: प्रत्येक तत्व का एक ही Inverse होता है।
  • Cancellation Law: यदि a * b = a * c ⇒ b = c
  • Inverse of Product: (a * b)⁻¹ = b⁻¹ * a⁻¹

6️⃣ Abelian Group (परिवर्तनीय समूह)

यदि किसी समूह में a * b = b * a सभी a, b के लिए सत्य है, तो वह समूह Abelian Group कहलाता है। उदाहरण: (Z, +), (R, +), (R-{0}, ×)

7️⃣ Non-Abelian Group (अपरिवर्तनीय समूह)

यदि किसी समूह में कुछ तत्वों के लिए a * b ≠ b * a हो, तो वह समूह Non-Abelian Group कहलाता है। उदाहरण: Matrix Multiplication, Symmetric Groups (S₃, S₄)।

8️⃣ समूह के उपयोग (Applications of Group Theory)

  • क्रिप्टोग्राफी और सुरक्षा एल्गोरिद्म में।
  • रोटेशनल सिमेट्री (Rotational Symmetry) में।
  • क्वांटम फिजिक्स और केमिस्ट्री में संरचना विश्लेषण के लिए।
  • कंप्यूटर ग्राफिक्स और गेम डिजाइन में।
  • नेटवर्क थ्योरी और ग्राफ एल्गोरिद्म में।

🔟 निष्कर्ष (Conclusion)

Group सिद्धांत गणित का हृदय है। यह “संरचना” और “संतुलन” दोनों को एक साथ जोड़ता है। हर Group में एक स्थिरता और समरूपता होती है जो सिस्टम को तार्किक और व्यवस्थित बनाती है। “A Group is the harmony of structure and symmetry.”

Related Post