Recurrence Relation and Generating Functions: Introduction and Applications | आवर्ती संबंध और जनरेटिंग फंक्शन: परिचय और अनुप्रयोग

आवर्ती संबंध (Recurrence Relation) और जनरेटिंग फंक्शन (Generating Function) गणितीय तर्कशास्त्र और कंप्यूटर विज्ञान के अत्यंत उपयोगी विषय हैं। इनका प्रयोग एल्गोरिद्म की दक्षता, अनुक्रमों की परिभाषा, और डेटा संरचनाओं के विश्लेषण में किया जाता है।

1️⃣ आवर्ती संबंध की परिभाषा (Definition of Recurrence Relation)

यदि किसी अनुक्रम (Sequence) के प्रत्येक पद को उसके पूर्ववर्ती पदों के संबंध में व्यक्त किया जाए, तो उस संबंध को Recurrence Relation कहा जाता है।

अर्थात्, किसी अनुक्रम {aₙ} के लिए यदि

aₙ = f(aₙ₋₁, aₙ₋₂, ..., aₙ₋ₖ)

तो यह एक kth-order Recurrence Relation कहलाता है।

उदाहरण:

• Fibonacci Series: Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂, जहाँ F₀ = 0, F₁ = 1
• Arithmetic Progression: aₙ = aₙ₋₁ + d
• Geometric Progression: aₙ = r × aₙ₋₁

2️⃣ आवर्ती संबंध के प्रकार (Types of Recurrence Relations)

• 1. Linear Recurrence Relation: यदि प्रत्येक पद पिछले पदों का रैखिक संयोजन हो। उदाहरण: aₙ = c₁aₙ₋₁ + c₂aₙ₋₂ + ... + cₖaₙ₋ₖ
• 2. Homogeneous: जब कोई स्थिर पद (Constant Term) न हो। उदाहरण: aₙ = 3aₙ₋₁ - 2aₙ₋₂
• 3. Non-Homogeneous: जब कोई अतिरिक्त स्थिर या फ़ंक्शन जुड़ा हो। उदाहरण: aₙ = 2aₙ₋₁ + n

3️⃣ आवर्ती संबंध का समाधान (Solving Recurrence Relations)

Recurrence Relation को हल करने का उद्देश्य aₙ को n के स्पष्ट रूप में प्राप्त करना होता है। इसके समाधान के तीन मुख्य तरीके हैं:

• 1. Iteration Method: बार-बार प्रतिस्थापन करके पैटर्न निकालना।
• 2. Substitution Method: अनुमानित समाधान को समीकरण में रखकर सत्यापन।
• 3. Characteristic Equation Method: Linear Homogeneous संबंधों के लिए उपयोगी।

उदाहरण:

aₙ = 3aₙ₋₁ - 2aₙ₋₂

Characteristic Equation: r² - 3r + 2 = 0 ⇒ r = 1, 2

Solution: aₙ = A(1)ⁿ + B(2)ⁿ

4️⃣ जनरेटिंग फंक्शन की परिभाषा (Definition of Generating Function)

किसी अनुक्रम {a₀, a₁, a₂, ...} के लिए यदि एक power series परिभाषित की जाए —

G(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...

तो G(x) को उस अनुक्रम का Generating Function कहा जाता है।

5️⃣ जनरेटिंग फंक्शन का उद्देश्य (Purpose of Generating Function)

• Sequence को एक Function के रूप में व्यक्त करना।
• Recurrence Relation को algebraic रूप में हल करना।
• Combinatorial समस्याओं में Counting करना।

6️⃣ सामान्य जनरेटिंग फंक्शन्स (Standard Generating Functions)

• 1 + x + x² + x³ + ... = 1 / (1 - x)
• 1 + 2x + 3x² + 4x³ + ... = 1 / (1 - x)²
• Fibonacci Series के लिए: G(x) = x / (1 - x - x²)

7️⃣ जनरेटिंग फंक्शन से आवर्ती संबंध का समाधान

Recurrence Relations को Generating Functions में बदलकर आसानी से हल किया जा सकता है। उदाहरण:

Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂

Generating Function G(x) = Σ Fₙxⁿ ⇒ G(x) = x / (1 - x - x²)

8️⃣ आवर्ती संबंधों के अनुप्रयोग (Applications of Recurrence Relations)

• Algorithm analysis (जैसे Merge Sort, Binary Search)
• Dynamic Programming problems (जैसे Fibonacci, Tower of Hanoi)
• Combinatorial Counting (Paths, Subsets)

9️⃣ जनरेटिंग फंक्शन्स के अनुप्रयोग (Applications of Generating Functions)

• Counting Problems (Permutations, Combinations)
• Probability Distributions
• Solving Linear Recurrences
• Polynomial Coefficient Extraction

🔟 निष्कर्ष (Conclusion)

Recurrence Relation और Generating Function दोनों अनुक्रमों और एल्गोरिद्म के विश्लेषण के लिए आधारभूत उपकरण हैं। जहाँ Recurrence Relation अनुक्रमों की परिभाषा देता है, वहीं Generating Function उनका गणितीय समाधान प्रदान करता है। “Recurrence defines, Generating Functions refine.”