Difference Equation का Solution | Discrete-Time System Analysis in Hindi


Difference Equation क्या होती है?

Difference Equation discrete-time systems में input-output relationship को define करती है। यह continuous-time systems की differential equation का discrete version होता है।

General form:

y[n] + a₁·y[n–1] + a₂·y[n–2] + ... = b₀·x[n] + b₁·x[n–1] + ...

Difference Equation का Solution

किसी भी linear time-invariant (LTI) system की difference equation का solution दो parts में होता है:

  1. 1. Homogeneous (Natural) Solution: जब input x[n] = 0 होता है। इसे yh[n] कहते हैं।
  2. 2. Particular (Forced) Solution: जब input x[n] ≠ 0 होता है। इसे yp[n] कहते हैं।

Final solution:

y[n] = yh[n] + yp[n]

1. Homogeneous Solution (Natural Response)

इसमें input को 0 मानते हैं:

y[n] + a₁·y[n–1] = 0

Assume: y[n] = rⁿ

तो: rⁿ + a₁·rⁿ⁻¹ = 0 → Characteristic Equation solve करें

Roots के basis पर solution आता है:

  • Simple roots → y[n] = A·r₁ⁿ
  • Repeated roots → y[n] = (A + Bn)·rⁿ

2. Particular Solution (Forced Response)

यह input x[n] के form पर depend करता है।

  • अगर x[n] = C (constant), तो yp[n] भी constant assume करते हैं
  • अगर x[n] = αⁿ, तो yp[n] = K·αⁿ assume करते हैं

Assumed solution को original equation में रखकर constant K निकालते हैं।

Example:

y[n] – 0.5·y[n–1] = x[n], और x[n] = 2ⁿ

  1. Homogeneous part: y[n] – 0.5·y[n–1] = 0

    2. Assume y[n] = rⁿ ⇒ rⁿ – 0.5·rⁿ⁻¹ = 0 ⇒ r = 0.5

    ⇒ yh[n] = A·(0.5)ⁿ

  2. Particular part: Try yp[n] = K·2ⁿ

    3. Substitute: K·2ⁿ – 0.5·K·2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ

    ⇒ K·2ⁿ – 0.5·K·2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ ⇒ Solve करके K = 4

    ⇒ yp[n] = 4·2ⁿ

Final Solution: y[n] = A·(0.5)ⁿ + 4·2ⁿ

Initial Conditions से A की Value

अगर y[0] दिया गया हो, तो उसे use करके A की value find की जाती है।

निष्कर्ष (Conclusion)

Difference equation का solution दो parts में होता है: natural और forced. Homogeneous part system behavior को दिखाता है जब input zero हो, और particular part system का response देता है actual input के लिए।

यह तरीका discrete-time LTI systems को mathematically analyze करने में बहुत उपयोगी है।

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