Rational Z-Transform और Z-Transform का Inversion | हिंदी में समझें


Rational Z-Transform क्या होता है?

जब किसी signal या system का Z-transform एक rational function के रूप में लिखा जा सकता है, तो उसे Rational Z-Transform कहा जाता है।

Rational Function: एक ऐसा function जो दो polynomials का ratio होता है:

X(z) = P(z) / Q(z)

जहाँ P(z) और Q(z) दोनों polynomials होते हैं z के

Example:

X(z) = (z + 2) / (z² + 3z + 2)

Rational Z-Transforms के गुण (Properties)

  1. Numerator और Denominator दोनों polynomials होते हैं
  2. ROC का निर्धारण poles की location पर depend करता है
  3. Rational functions आमतौर पर practical systems को represent करते हैं (FIR और IIR filters)

Inversion of Z-Transform क्या होता है?

Inversion का मतलब है — Z-domain representation से time-domain signal x[n] वापस निकालना।

यह बहुत important होता है system analysis और implementation के लिए।

Z-Transform को Invert करने के Methods

  1. 1. Long Division Method

    जब X(z) को polynomial के रूप में लिखा जा सकता है, तो हम z⁻¹ के respect में divide करते हैं।

    Step: Numerator ÷ Denominator

    Use: One-sided (causal) sequences के लिए

  2. 2. Partial Fraction Method

    यह method तब use होती है जब X(z) rational हो और denominator factor किया जा सके।

    Steps:

    • Step 1: X(z) को partial fractions में break करो
    • Step 2: हर term का known Z-transform देखो
    • Step 3: Combine करके x[n] बनाओ

    Example:

    X(z) = (z + 2) / ((z + 1)(z + 2)) = A / (z + 1) + B / (z + 2)

    ⇒ x[n] = A·(–1)ⁿ·u[n] + B·(–2)ⁿ·u[n]

  3. 3. Power Series Expansion

    इस method में हम X(z) को z⁻¹ के terms में expand करते हैं, जिससे x[n] directly मिल जाता है।

    Use: Finite-duration signals या convergence region defined होने पर

  4. 4. Inverse Z-Transform by Table Lookup

    Standard Z-transform pairs को याद रखकर हम जल्दी inversion कर सकते हैं।

    Example: z / (z – a) ⇨ aⁿ·u[n]

ROC और Signal Nature

ROCSignal Type
|z| > max(|poles|)Causal
|z| < min(|poles|)Anti-causal
Between polesTwo-sided

निष्कर्ष (Conclusion)

Rational Z-transforms आमतौर पर practical systems को represent करते हैं और इन्हें invert करने के लिए multiple methods होते हैं जैसे long division, partial fraction और power series expansion।

Inversion techniques system की analysis, filter design और signal reconstruction में बहुत उपयोगी हैं।

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