The Direct Z-Transform | हिंदी में समझें


Z-Transform क्या है?

Z-Transform एक mathematical tool है जिसका उपयोग discrete-time signals को frequency domain में analyze करने के लिए किया जाता है। यह Laplace transform का discrete version माना जाता है।

Z-transform किसी sequence x[n] को complex variable z के function X(z) में बदल देता है।

The Direct Z-Transform क्या होता है?

Direct Z-transform का मतलब है – दिए गए signal x[n] से Z-transform निकालना। इसे हम नीचे दिए गए formula से निकालते हैं:

X(z) = Σ x[n]·z⁻ⁿ (n = –∞ to ∞)

यह summation एक bilateral Z-transform है। अगर signal केवल n ≥ 0 पर defined हो, तो हम unilateral Z-transform यूज़ करते हैं:

X(z) = Σ x[n]·z⁻ⁿ (n = 0 to ∞)

Step-by-Step Procedure

  1. Step 1: Signal x[n] को identify करो
  2. Step 2: General Z-transform formula में values रखो
  3. Step 3: Summation solve करो
  4. Step 4: Final expression X(z) और ROC (Region of Convergence) बताओ

Example 1: x[n] = aⁿ·u[n]

जहाँ |a| < |z|

X(z) = Σ aⁿ·z⁻ⁿ = Σ (a/z)ⁿ = 1 / (1 – a/z) = z / (z – a)

ROC: |z| > |a|

Example 2: x[n] = δ[n]

X(z) = 1 (for all z)

Important Z-Transform Pairs

x[n]X(z)ROC
δ[n]1Entire z-plane
aⁿ·u[n]z / (z – a)|z| > |a|
n·aⁿ·u[n]az / (z – a)²|z| > |a|
u[n]z / (z – 1)|z| > 1

Properties of Z-Transform

  • Linearity: Z{a·x[n] + b·y[n]} = a·X(z) + b·Y(z)
  • Time Shift: Z{x[n–k]} = z⁻ᵏ·X(z)
  • Convolution: Z{x[n] * h[n]} = X(z)·H(z)
  • Multiplication by n: Z{n·x[n]} = –z·dX(z)/dz

ROC – Region of Convergence

ROC वो region है जहाँ Z-transform converge करता है।

  • Right-sided signals: ROC is |z| > r
  • Left-sided signals: ROC is |z| < r
  • Two-sided signals: ROC is r₁ < |z| < r₂

Note: ROC का knowledge system की stability और causality चेक करने में helpful होता है।

निष्कर्ष (Conclusion)

Direct Z-transform discrete-time signal को analyze करने का एक powerful method है। इससे हमें signals की frequency characteristics, system behavior और stability को समझने में मदद मिलती है।

Z-transform DSP और control systems में बहुत use होता है।

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