Discrete-Time Signals & Systems का Frequency Domain Representation | हिंदी में समझें


Frequency Domain Representation क्या है?

Discrete-time signals और systems को सिर्फ time-domain में ही नहीं, बल्कि frequency-domain में भी analyze किया जा सकता है। Frequency domain में signal के अलग-अलग frequency components को समझा जाता है।

यह representation हमें यह समझने में मदद करता है कि signal में कौन-कौन सी frequencies मौजूद हैं और system उन पर कैसा effect डालता है।

Time vs Frequency Domain

Time DomainFrequency Domain
Signal को time के अनुसार देखा जाता हैSignal को frequency components में breakdown किया जाता है
Convolution होता हैMultiplication होता है
दिखाता है signal की shapeदिखाता है frequency spectrum

1. DTFT – Discrete-Time Fourier Transform

DTFT एक mathematical tool है जो discrete-time signal को frequency domain में transform करता है।

Formula:

X(ω) = Σ x[n] · e–jωn

Where:

  • x[n] → input signal
  • ω → frequency (radians/sample)
  • X(ω) → frequency domain representation

Inverse DTFT:

x[n] = (1/2π) ∫ X(ω) · ejωn dω

2. Frequency Response of Discrete-Time LTI System

System का behavior frequency domain में frequency response H(ω) से represent किया जाता है।

H(ω) = DTFT{h[n]}, where h[n] is the impulse response

यह बताता है कि हर frequency component input का system में कितना amplification या attenuation होगा।

3. Properties of Frequency Domain

  • Linearity: Frequency domain linear होता है
  • Time-shifting: Time domain में delay, frequency domain में phase shift करता है
  • Convolution: Time domain convolution = Frequency domain multiplication
  • Modulation: Frequency shift करता है

4. Magnitude और Phase Spectrum

Frequency response H(ω) complex होता है:

  • Magnitude |H(ω)|: बताता है कितनी amplitude pass होगी
  • Phase ∠H(ω): बताता है कितनी phase shift होगी

5. Example:

मान लो signal x[n] = {1, 2, 3} है

तो इसका DTFT निकालकर X(ω) को graph पर plot किया जा सकता है

6. System Analysis using Frequency Domain

  1. Impulse response h[n] find करो
  2. DTFT लो → H(ω)
  3. Input signal x[n] का DTFT लो → X(ω)
  4. Output Y(ω) = H(ω) · X(ω)
  5. Inverse DTFT से y[n] निकालो

निष्कर्ष (Conclusion)

Frequency domain representation से discrete-time signals और systems को analyze करना बहुत आसान हो जाता है, खासकर filtering, modulation और spectral analysis जैसे applications में।

DTFT इस process का main tool है, जो signal को frequency components में बदलता है।

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