Difference Equation द्वारा Discrete-Time Systems का वर्णन | हिंदी में समझें


Difference Equation क्या होती है?

Discrete-time systems को mathematically represent करने का एक प्रमुख तरीका है difference equation। यह एक recurrence relation होती है, जिसमें output signal y[n] को वर्तमान और पूर्व inputs/outputs के आधार पर व्यक्त किया जाता है।

General form:

y[n] + a₁·y[n−1] + a₂·y[n−2] + ... + aN·y[n−N] = b₀·x[n] + b₁·x[n−1] + ... + bM·x[n−M]

Terms की व्याख्या:

  1. x[n] – input signal
  2. y[n] – output signal
  3. a₁, a₂, ..., aN – feedback coefficients (past outputs)
  4. b₀, b₁, ..., bM – feedforward coefficients (present/past inputs)

Classification of Systems by Difference Equation

  1. FIR (Finite Impulse Response): केवल input terms (x[n]) पर निर्भर, no feedback
    ➡ Example: y[n] = 0.5·x[n] + 0.5·x[n−1]
  2. IIR (Infinite Impulse Response): input और output दोनों पर निर्भर
    ➡ Example: y[n] = x[n] + 0.8·y[n−1]

Example: First Order System

y[n] = 0.4·x[n] + 0.6·y[n−1]

  • यह एक IIR system है
  • Causal और time-invariant है
  • Output का वर्तमान मान पिछले output पर निर्भर करता है

Stability Check

System stable होता है यदि सभी poles की magnitude < 1 हो। For difference equations:

  • Characteristic equation से roots निकालें
  • यदि सभी roots unit circle के अंदर हैं, तो सिस्टम BIBO stable है

Impulse Response से Verification

Input x[n] = δ[n] देने पर output जो आता है वह h[n] कहलाता है। यदि system का impulse response bounded है, तो system stable है।

Applications

  • Digital filters design (FIR/IIR)
  • DSP processors में implementation
  • Audio/speech/image signal processing
  • Control systems

निष्कर्ष (Conclusion)

Difference equations discrete-time systems को mathematically model करने का एक powerful टूल हैं। इनके द्वारा हम systems का behavior, stability और output response अच्छे से analyze कर सकते हैं।

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