Difference Equation क्या होती है?

Discrete-time systems को mathematically represent करने का एक प्रमुख तरीका है difference equation। यह एक recurrence relation होती है, जिसमें output signal y[n] को वर्तमान और पूर्व inputs/outputs के आधार पर व्यक्त किया जाता है।

General form:

y[n] + a₁·y[n−1] + a₂·y[n−2] + ... + a_N·y[n−N] = b₀·x[n] + b₁·x[n−1] + ... + b_M·x[n−M]

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Terms की व्याख्या:

1. x[n] – input signal
2. y[n] – output signal
3. a₁, a₂, ..., a_N – feedback coefficients (past outputs)
4. b₀, b₁, ..., b_M – feedforward coefficients (present/past inputs)

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Classification of Systems by Difference Equation

1. FIR (Finite Impulse Response): केवल input terms (x[n]) पर निर्भर, no feedback
   ➡ Example: y[n] = 0.5·x[n] + 0.5·x[n−1]
2. IIR (Infinite Impulse Response): input और output दोनों पर निर्भर
   ➡ Example: y[n] = x[n] + 0.8·y[n−1]

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Example: First Order System

y[n] = 0.4·x[n] + 0.6·y[n−1]

• यह एक IIR system है
• Causal और time-invariant है
• Output का वर्तमान मान पिछले output पर निर्भर करता है

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Stability Check

System stable होता है यदि सभी poles की magnitude < 1 हो। For difference equations:

• Characteristic equation से roots निकालें
• यदि सभी roots unit circle के अंदर हैं, तो सिस्टम BIBO stable है

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Impulse Response से Verification

Input x[n] = δ[n] देने पर output जो आता है वह h[n] कहलाता है। यदि system का impulse response bounded है, तो system stable है।

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Applications

• Digital filters design (FIR/IIR)
• DSP processors में implementation
• Audio/speech/image signal processing
• Control systems

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निष्कर्ष (Conclusion)

Difference equations discrete-time systems को mathematically model करने का एक powerful टूल हैं। इनके द्वारा हम systems का behavior, stability और output response अच्छे से analyze कर सकते हैं।