Shovel-Truck Performance को Waiting Line Method से कैसे Analyse करें? | Excavator-Dumper Queue Analysis in Hindi

Open-pit earthmoving या quarry/road projects में shovel (excavator) – truck (dumper) system सबसे आम है। इस system में एक या अधिक loading units (shovels) और कई haul trucks होते हैं — जहाँ trucks शовेल के पास आकर load लेते हैं और फिर material haul कर के dump करते हैं। Waiting-line (Queuing) method से हम इस दोनों के बीच बनने वाली queue (truck waiting), shovel utilization, average waiting time और fleet requirements को गणितीय रूप से analyze कर सकते हैं।

क्यों Queuing Analysis जरूरी है?

Trucks का unnecessary waiting project cost बढ़ाता है (fuel, time)।
Shovel का idle होना productivity घटाता है।
Optimal fleet sizing से capital cost और operating cost दोनों optimize होते हैं।

Basic Model – किसे Server मानें और Arrival क्या है?

Server = Shovel (loading unit) क्योंकि shovel एक समय में एक truck को load कर सकती है। Arrival process = trucks arriving for loading।

Common queuing models: M/M/1 (single shovel, Poisson arrivals, exponential service), M/M/c (c shovels), और finite population models (जब fleet छोटा हो)।

Main Parameters और उनकी गणना

Loading time (t_L) — average time for shovel to load one truck (minutes).
Service rate μ = 60 / t_L (trucks per hour).
Truck cycle time (T_cycle) = loading allowance (often zero for shovel since loading is service) + haul time + dump time + return time + spotting time (minutes).
Number of trucks N in fleet allocated to a shovel unit.
Arrival rate λ = N * 60 / T_cycle (trucks per hour) — average rate at which trucks come back for loading.
Utilization ρ = λ / μ (fraction of time shovel is busy). For stable system ρ < 1.

Simple M/M/1 Formula (Single Shovel)

अगर arrivals Poisson और loading time exponential माने तो M/M/1 के लिए मुख्य समीकरण:

ρ = λ / μ
L_q = λ² / [μ(μ − λ)] — average number waiting in queue (trucks)
W_q = λ / [μ(μ − λ)] — average waiting time in queue (hours)
L = λ / (μ − λ) — average number in system (queue + in service)
W = 1 / (μ − λ) — average total time in system (hours)

Practical Example — Numerical Calculation

मान लीजिए:

Loading time t_L = 3 मिनट → μ = 60/3 = 20 trucks/hr.
Trucks का average haul = 10 min, dump = 2 min, return = 8 min → T_cycle = 10+2+8 = 20 मिनट.
यदि fleet में N = 12 trucks assigned हैं → λ = N * 60 / T_cycle = 12 * 60 / 20 = 36 trucks/hr.

Observe: λ (36) > μ (20) → system unstable (trucks arrive faster than shovel can load) → large queues, shovel overloaded. इसलिए fleet sizing और cycle times का मैच करना जरूरी है।

अब सही matching के लिए मान लें N = 6 trucks → λ = 6*60/20 = 18 trucks/hr → μ = 20 trucks/hr →

ρ = 18/20 = 0.9 (shovel 90% busy)
W_q = λ / [μ(μ − λ)] = 18 / [20*(2)] = 18/40 = 0.45 hr = 27 मिनट
L_q = λ * W_q = 18 * 0.45 = 8.1 trucks waiting on average — बहुत अधिक!

यह दिखाता है कि भले ही ρ < 1 हो, पर उच्च utilization (0.9) भी queue और waiting time बहुत बड़ा कर देती है।

Fleet Sizing Rule of Thumb (Matching Production)

Ideal matching का तरीका: shovel की hourly loading capability × average bucket capacity = required tonnage/hr। दूसरी ओर, एक truck की hourly trips = 60 / T_cycle।

Minimum trucks required N_min = (Shovel trips required per hour) / (Trips per truck per hour)

Example में shovel μ = 20 trucks/hr, प्रत्येक truck trips/hr = 60/20 = 3 trips/hr (since T_cycle=20 min). तो N_min ≈ 20 / 3 ≈ 6.7 → round up 7 trucks. पर यह queueing नहीं दिखाता — यह सिर्फ throughput balance है. Queueing बचाने के लिए usually 20–30% extra trucks चाहिए → recommend 8–9 trucks.

Multi-Shovel Case (M/M/c) — जब c ≥ 2

Multiple shovels पर Erlang C या M/M/c formulas इस्तेमाल होते हैं। मुख्य idea — servers की संख्या बढ़ाने से waiting time exponential तौर पर घटता है।

Erlang C के अनुसार average waiting time W_q = (Probability of wait) × (1 / (cμ − λ)) . Practical computation के लिए software या spreadsheet उपयोग करें।

Finite Population Model (छोटे फ्लीट के लिए)

जब fleet छोटे N (जैसे 5–20) हों, arrival rate λ नहीं external Poisson होगा — यह truck population पर निर्भर होगा। Finite source models (M/M/1/K with birth-death) use किये जाते हैं। इनका उपयोग कर के वास्तविक waiting और utilization की सही तस्वीर मिलती है।

Practical Steps — Site पर Analysis करने का तरीका

Field data collect करें: average loading time, haul/dump/return times, spotting time, bucket capacity, truck capacity, number of trucks assigned, shift hours, delays and breakdown statistics.
Compute T_cycle और trucks' trips/hr = 60 / T_cycle.
Compute μ = 60 / t_L और λ = N * 60 / T_cycle (for initial estimate).
Check stability: ensure λ < cμ (c = number of shovels). If not, system overloaded.
Apply M/M/1 or M/M/c formulas to estimate W_q, L_q, system utilization.
Validate model results with observed queue lengths and waiting times; adjust for finite source if discrepancy large.
Run sensitivity analysis: vary N, add spare shovel, or change T_cycle by route shortening to see impact.

Operational Recommendations to Reduce Waiting

Reduce loading time — better bucket placement, experienced operator, synchronized spotting.
Reduce haul/return time — improve haul road, reduce gradients, minimize dump turn delays.
Increase shovel capacity or add another shovel when ρ > 0.8 consistently.
Optimize fleet size — use queueing output plus fleet cost model to pick economical N.
Buffer/holding area near shovel to avoid blocking site access and to stage trucks orderly.
Dispatch control — time spacing of trucks leaving dump to reduce bunching at shovel.
Preventive maintenance — reduce unplanned downtime which inflates waiting time dramatically.

Example Recommendation (from previous numerics)

पहले example में T_cycle=20 min और t_L=3 min दे कर shovel μ=20 trucks/hr. Throughput balance demanded ≈7 trucks, पर M/M/1 queueing दिखा कि यदि N=7 then λ=7*60/20=21 trucks/hr → ρ=21/20=1.05 (unstable). इसलिए अच्छे practice के अनुसार या तो:

Shovel capability बढ़ाएँ (faster loading या bigger bucket) → μ बढ़ेगी।
Trucks की cycle time बढ़ाएँ (अगर feasible) या एक और shovel जोड़ें (c=2) — बेहतर विकल्प।
Optimal fleet ≈ 8–10 trucks पर experimentation और queuing model से final select करें।

Tools और Software

Spreadsheet (Excel) में M/M/1 और M/M/c calculators बनाए जा सकते हैं। Advanced के लिए Arena, Simio, या AnyLogic जैसे discrete-event simulation tools use करें — असली site variability और breakdowns model करने के लिए simulation बेहतर होता है।

Summary Table: Key Formulas

Parameter	Formula / Note
Service rate μ	μ = 60 / t_L (trucks/hr)
Arrival rate λ	λ = N * 60 / T_cycle (trucks/hr)
Utilization ρ	ρ = λ / (c μ)
Avg waiting W_q (M/M/1)	W_q = λ / [μ(μ − λ)] (hrs)

Conclusion

Shovel-Truck systems का Waiting-Line (Queuing) analysis site के operational effectiveness को quantify करता है — queue length, waiting time, और shovel utilization जैसे metrics देते हैं। Simple M/M/1 या M/M/c models initial insight देते हैं, जबकि finite-population models और discrete-event simulation वास्तविक fleet behavior को बेहतर capture करते हैं।

Field data collection + queuing formulas/ simulation = बेहतर fleet sizing, कम waiting, और improved productivity. इसलिए project planners और site engineers को इन methods को अपनाकर shovel-truck system को optimize करना चाहिए।