Undamped Free Vibrations का Differential Equation कैसे निकालें?

Vibration के सबसे बेसिक मॉडल में mass–spring system होता है जहाँ न तो damping मौजूद है और न ही कोई external force। इसे undamped free vibration कहते हैं। इस post में हम इसका differential equation दो तरीकों से निकालेंगे—Newton’s second law और energy method—और साथ ही general solution, natural frequency, और initial conditions का उपयोग भी समझेंगे।

System Assumptions (मॉडल की मान्यताएँ)

• SDOF: एक ही generalized coordinate x(t) (displacement) से motion describe होता है।
• Linear spring: Spring force = k x (Hooke's law), जहाँ k stiffness है (N/m)।
• No damping: कोई viscous/structural damping नहीं; energy loss नहीं है।
• No external force: System को बस एक बार disturb किया गया है; आगे खुद-ब-खुद vibrate करता है।

1) Newton’s Second Law से Derivation

Free-body diagram (FBD) में mass m पर लगने वाले forces:

• Inertia force: m \ddot{x} (motion oppose करता है)
• Spring restoring force: k x (equilibrium की ओर खींचता है)

Sign convention के साथ equilibrium condition: \sum F = m \ddot{x} + k x = 0

Differential Equation: m \dfrac{d^2 x}{dt^2} + k x = 0

इसे стандар्ड फॉर्म में लिखें: \ddot{x} + \omega_n^2 x = 0, जहाँ
Natural (circular) frequency \omega_n = \sqrt{\dfrac{k}{m}} (rad/s)

2) Energy Method से Derivation (वैकल्पिक)

Undamped system में mechanical energy conserve रहती है:

• Kinetic energy: T = \frac{1}{2} m \dot{x}^2
• Potential (spring) energy: V = \frac{1}{2} k x^2

Energy conservation: \dfrac{d}{dt}(T+V) = 0 \Rightarrow m \dot{x} \ddot{x} + k x \dot{x} = 0
\Rightarrow \dot{x}(m \ddot{x} + k x) = 0 और \dot{x} \neq 0 मानकर मिलता है वही equation: m \ddot{x} + k x = 0.

General Solution (सामान्य हल)

Characteristic equation: r^2 + \omega_n^2 = 0 \Rightarrow r = \pm j\,\omega_n

Hence, solution:
x(t) = C_1 \cos(\omega_n t) + C_2 \sin(\omega_n t)
या x(t) = A \cos(\omega_n t + \phi), जहाँ A amplitude और \phi phase है।

Initial Conditions से Constants निकालना

मान लें x(0) = x_0 और \dot{x}(0) = v_0. तब

• x(0) = C_1 = x_0
• \dot{x}(t) = -C_1 \omega_n \sin(\omega_n t) + C_2 \omega_n \cos(\omega_n t)
  \Rightarrow \dot{x}(0) = C_2 \omega_n = v_0 \Rightarrow C_2 = \dfrac{v_0}{\omega_n}

Final response: x(t) = x_0 \cos(\omega_n t) + \dfrac{v_0}{\omega_n} \sin(\omega_n t)

Key Points (छोटी-छोटी लेकिन ज़रूरी बातें)

• Pure sinusoid: Undamped free vibration में response हमेशा sinusoidal होता है—कोई decay नहीं।
• Natural frequency only: Motion की frequency केवल \omega_n होती है; external forcing ना होने से कोई और frequency नहीं आती।
• Energy swap: Kinetic और potential energy समय के साथ एक-दूसरे में बदलती रहती हैं; total energy constant रहती है।
• Amplitude set by ICs: Amplitude/phase केवल initial displacement/velocity से तय होते हैं।

Angular (Torsional) और Transverse Analogy

Physical Interpretation (सरल समझ)

• Stiffer spring ⇒ तेज़ vibration: k बढ़ने पर \omega_n बढ़ता है, period घटता है।
• Heavier mass ⇒ धीमी vibration: m बढ़ने पर \omega_n घटता है, period बढ़ता है।
• No damping ⇒ no decay: Practical systems में थोड़ी बहुत damping होती है—ideal model में नहीं।

Small Example (त्वरित उदाहरण)

Given: m = 2\,kg, k = 200\,N/m, x_0 = 10\,mm = 0.01\,m, v_0 = 0.
\omega_n = \sqrt{k/m} = \sqrt{200/2} = \sqrt{100} = 10\,rad/s.
Response: x(t) = 0.01 \cos(10 t). Peak-to-peak amplitude 20 mm और period T = 2\pi/\omega_n = 0.628\,s.

Common Pitfalls (आम गलतियाँ)

• Wrong sign convention: Restoring force हमेशा displacement के उलट दिशा में होता है; equation में +k x के साथ LHS पर लाएँ।
• Damping भूलना/मिलाना: Undamped model में c \dot{x} term नहीं आता—इसे सिर्फ damped models में जोड़ें।
• Units mismatch: k (N/m), m (kg), \omega_n (rad/s) की units consistent रखें।

निष्कर्ष

Undamped free vibration के SDOF mass–spring model का governing differential equation m \ddot{x} + k x = 0 है, जिसकी natural frequency \omega_n = \sqrt{k/m} और solution pure sinusoidal होता है। यही आधार आगे के advanced topics—damped, forced, multi-DOF, और continuous systems—को समझने में मदद करता है।