Rayleigh’s Method से Natural Frequency कैसे Find करें? | आसान भाषा

Rayleigh’s Method एक आसान और शक्तिशाली approximate method है जो किसी vibrating system की natural frequency को find करने के लिए use किया जाता है। इस method में हम energy principle का use करते हैं – मतलब system की maximum kinetic energy और maximum potential energy को बराबर करके frequency निकालते हैं।

1. Rayleigh’s Method का Principle

Rayleigh ने बताया कि किसी भी conservative vibrating system में:

Maximum Kinetic Energy = Maximum Potential Energy
    

Mathematical form:

Tmax = Vmax
    

जहां,

• T_max = maximum kinetic energy
• V_max = maximum potential (strain) energy

2. Formula

अगर system में distributed mass या lumped mass है, तो Rayleigh’s quotient इस प्रकार होता है:

ω² = (Maximum Potential Energy) / (Maximum Kinetic Energy / ω²)
या
ω = √(Vmax / (Tmax / ω²))
    

लेकिन practical example में हम displacement का assumed mode shape use करके integration करते हैं।

3. Step-by-Step Procedure

1. System का geometry और material properties पहचानें।
2. एक suitable mode shape (deflection curve) assume करें।
3. उस mode shape से strain energy (potential energy) calculate करें।
4. उस mode shape से kinetic energy calculate करें।
5. दोनों को बराबर रखकर ω (natural circular frequency) find करें।
6. Natural frequency (f) = ω / (2π) निकालें।

4. Example – Simple Spring-Mass System

मान लीजिए एक mass m एक spring (stiffness k) से जुड़ा है।

• Maximum Kinetic Energy: ( T_{max} = frac{1}{2} m omega^2 X^2 )
• Maximum Potential Energy: ( V_{max} = frac{1}{2} k X^2 )

Energy balance से:

(frac{1}{2} m omega^2 X^2 = frac{1}{2} k X^2)

m ω² = k  
ω = √(k/m)
    

Natural frequency:

f = ω / (2π) = (1 / 2π) √(k/m)
    

5. Rayleigh’s Method के फायदे

• Complex systems के लिए भी आसान
• Mode shape का सही अनुमान मिलने पर accurate result
• First natural frequency find करने में effective

6. Limitations

• Assumed mode shape गलत होने पर error
• Higher modes find करने के लिए directly suitable नहीं

निष्कर्ष

Rayleigh’s Method natural frequency निकालने का एक fast और analytical तरीका है, खासकर जब हम system की equation of motion solve करने में कठिनाई महसूस करें। इसका accuracy mode shape की सही assumption पर निर्भर करता है।