Forced Undamped Vibrations with Harmonic Excitation | हिंदी में समझें

जब किसी mechanical system पर external periodic force (harmonic excitation) apply किया जाता है और system में damping present नहीं होती, तो उत्पन्न होने वाली vibrations को Forced Undamped Vibrations with Harmonic Excitation कहा जाता है। यह vibrations real systems को समझने और उनकी resonance condition का study करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं।

Concept समझें

मान लीजिए एक simple spring-mass system है, जिस पर sinusoidal force F(t) = F₀ sin(ωt) apply किया गया है। यहाँ,

• F₀ = external force की amplitude
• ω = excitation frequency
• m = mass
• k = stiffness of spring

इस system की governing differential equation होगी:

m x'' + kx = F₀ sin(ωt)

यह equation forced undamped vibration का standard form है।

Solution of Equation

इस equation का solution दो parts में होता है:

• Complementary Solution (x_c): यह natural vibration को represent करता है।
• Particular Solution (x_p): यह external force की वजह से होने वाली vibration को represent करता है।

Final solution होगा:

x(t) = C₁ cos(ωₙ t) + C₂ sin(ωₙ t) + (F₀ / (k - mω²)) sin(ωt)

जहाँ ωₙ = √(k/m) system की natural frequency है।

Resonance Condition

अगर excitation frequency (ω) system की natural frequency (ωₙ) के बराबर हो जाए, तो denominator (k - mω²) → 0 हो जाता है और vibration की amplitude theoretically infinite हो जाती है। इस स्थिति को Resonance कहते हैं। Practical systems में damping की वजह से amplitude finite रहता है।

Practical Example

• Engine में crankshaft पर periodic torque लगने से forced vibration होती है।
• Machines में rotating parts की unbalance force harmonic excitation produce करती है।
• Bridges और structures में external periodic load vibrations उत्पन्न करते हैं।

Conclusion

Forced Undamped Vibrations with Harmonic Excitation mechanical systems के लिए एक critical study area है। Resonance से बचने के लिए design engineers को excitation frequency और system की natural frequency का ध्यान रखना पड़ता है।