2 D.O.F Undamped Free Vibration कैसे होता है? | हिंदी में जानें

Vibration analysis में Two Degrees of Freedom (2 D.O.F) systems का बहुत महत्व है। जब किसी system में damping ना हो और उसे एक बार disturb करके छोड़ दिया जाए, तब जो motion होता है उसे Undamped Free Vibration कहते हैं। इस ब्लॉग में हम 2 D.O.F undamped free vibration को step-by-step समझेंगे।

2 D.O.F System की Basics

• Definition: जब किसी system को describe करने के लिए दो independent coordinates की जरूरत होती है, तो उसे 2 D.O.F system कहते हैं।
• Example: दो masses और दो springs से बना system, या दो discs वाला rotating shaft।
• Undamped Condition: अगर system में damping ना हो (मतलब energy loss ना हो), तो इसे undamped system कहा जाता है।

Equation of Motion

2 D.O.F system के लिए motion को represent करने के लिए दो coupled differential equations बनते हैं:

[M]{x¨} + [K]{x} = 0

• [M] = Mass matrix (system के masses को represent करता है)
• [K] = Stiffness matrix (springs की stiffness को represent करता है)
• {x} = Displacement vector (दोनों coordinates का displacement)

इन equations को solve करने पर हमें system की natural frequencies और mode shapes मिलते हैं।

Natural Frequencies और Mode Shapes

• Two Natural Frequencies: 2 D.O.F undamped free vibration system में हमेशा दो natural frequencies होती हैं।
• Mode Shapes: हर frequency के साथ एक खास vibration pattern (mode shape) जुड़ा होता है।
• In-Phase Motion: पहले mode में दोनों masses एक ही direction में move करते हैं।
• Out-of-Phase Motion: दूसरे mode में masses opposite direction में vibrate करते हैं।

Physical Interpretation

जब system को disturb करके छोड़ा जाता है तो masses simultaneously vibrate करते हैं। Actual motion इन दोनों modes के combination के रूप में होता है। यह superposition principle पर आधारित है।

Engineering में महत्व

• Machine Design: Shafts और rotor systems में vibration prediction के लिए use होता है।
• Structural Engineering: Multi-storey buildings और bridges की analysis के लिए 2 D.O.F models helpful हैं।
• Automobile Systems: Suspension analysis में undamped free vibration का concept समझना जरूरी है।

Conclusion

2 D.O.F Undamped Free Vibration mechanical vibration का एक core concept है। इसमें दो natural frequencies और दो mode shapes होते हैं, जिनका combination actual motion देता है। Engineering applications में यह model जटिल structures और machines को समझने और design करने में बहुत उपयोगी है।