Multiple Discs वाले Shaft की Critical Speed कैसे Find करें? | हिंदी Explanation

यदि shaft पर एक से अधिक discs (rotor masses) लगे हों, तो first lateral critical speed निकालने के लिए simple single-disk model काफी नहीं होता। ऐसे cases में Dunkerley’s Rule एक conservative (safe-side) estimate देता है, जबकि Rayleigh Method ज्यादा accurate पहला mode (fundamental) निकालने के लिए उपयोगी है। इस guide में दोनों approaches को step-by-step आसान भाषा में समझेंगे, साथ में एक quick numerical example भी दिया गया है।

1) Modeling Basics

System: Simply supported या bearing-supported shaft, जिस पर n discrete discs लगे हैं (masses m_1..n), positions x_1..n.
Assumptions: Small deflection, linear elasticity, first bending mode focus, light damping (critical speed पर amplitude limit करने में मदद, पर N_c पर minor effect)।
Goal: First critical speed N_c (rpm) का practical estimate निकालना।

2) Static Deflection (δ) Concept Recap

Single disk case में first natural frequency:

ω = √(g/δ) (rad/s), जहाँ δ = उस mass से होने वाली static deflection (m)।

N (rpm) = (60 / 2π) × √(g/δ)

यह idea multi-disk systems में भी काम आता है—individual influences को combine करके।

3) Dunkerley’s Rule — Conservative Estimate

Formula: 1 / N_c^2 ≈ Σ (1 / N_i^2), जहाँ N_i वह critical speed है जो केवल i-th disk को consider करने पर आता है (बाकी masses temporarily ignore)।
How to get N_i? i-th mass के कारण होने वाली static deflection δ_i निकालें → N_i = (60 / 2π) √(g/δ_i).
Nature: Result हमेशा safe-side (थोड़ा कम) आता है; design में अच्छा starting point।

4) Rayleigh Method — More Accurate First Mode

Rayleigh energy approach fundamental frequency का better estimate देता है:

ω^2 ≈ g × (Σ W_i y_i) / (Σ W_i y_i^2)

यहाँ W_i=m_ig (disc वजन), y_i = assumed first-mode shape के अनुसार i-th disc का lateral deflection। Practical में y(x) को पहली mode जैसी smooth curve (जैसे simply supported beam के लिए sinusoidal) assume किया जाता है या influence coefficients से निकाला जाता है।

Steps: (i) mode shape assume करें, (ii) उस shape के अनुसार हर disc का y_i निकालें, (iii) ऊपर का ratio compute करें, (iv) N_c = (60/2π)√(ω^2).
Tip: Better y(x) ⟶ better accuracy; bearings की flexibility include करें तो result और realistic आता है।

5) Quick Numerical — 2 Discs (Dunkerley)

मान लो shaft पर दो discs हैं। Individually measured/estimated static deflections:

Disc-1 → δ₁ = 0.0008 m ⇒ N₁ = (60/2π) √(g/δ₁) ≈ 1058 rpm
Disc-2 → δ₂ = 0.0015 m ⇒ N₂ ≈ 773 rpm

अब Dunkerley:

1/N_c^2 = 1/N_1^2 + 1/N_2^2

⇒ 1/N_c^2 ≈ 1/(1058)^2 + 1/(773)^2

⇒ N_c ≈ 624 rpm (conservative estimate)

Design में operating speed को इस band से दूर रखें (±20–30% separation)।

6) Practical Notes

Bearings/Supports: Flexible bearings effective stiffness घटाते हैं ⟶ N_c कम होता है; stiffness बढ़ाएँ तो critical speed ऊपर जाएगा।
Unbalance Control: Balancing improve करें, resonance cross करते समय controlled ramp-up इस्तेमाल करें।
Validation: Final design के लिए experimental bump test / modal test से verify करें; complex rotors में FEM/transfer-matrix/Holzer tabulation use करें।

Conclusion

Multiple discs वाले shaft में first critical speed का fast और safe estimate Dunkerley’s Rule से आसानी से निकाला जा सकता है, जबकि ज्यादा accuracy के लिए Rayleigh Method और detailed modeling बेहतर रहता है। Bearings, stiffness, और unbalance जैसे factors को include करने से result realistic मिलता है।

Multiple Discs वाले Shaft की Critical Speed कैसे Find करें? | हिंदी Explanation