Angular Oscillations और Compound Pendulum Explained | हिंदी में

Angular oscillations का मतलब है rotational motion में होने वाले छोटे-छोटे periodic oscillations। जब कोई rigid body किसी fixed axis के चारों ओर घूमते हुए oscillate करती है, तो इसे angular oscillation कहते हैं।

1. Angular Oscillations क्या होती हैं?

Linear oscillation में displacement linear होता है, जबकि angular oscillation में displacement angular होता है। इस प्रकार की motion में restoring torque body को उसके equilibrium position पर वापस लाने का काम करता है।

Restoring torque का general formula:

Torque = -C × θ
    

जहां C torsional stiffness है और θ angular displacement है।

2. Angular Oscillation का Equation of Motion

Newton’s Second Law for Rotation के अनुसार:

I × α = -C × θ
    

यहां:

• I = Moment of Inertia of body about axis of rotation
• α = Angular acceleration (d²θ/dt²)

Equation बनती है:

I × (d²θ/dt²) + C × θ = 0
    

इसका solution harmonic motion जैसा होता है, और natural angular frequency:

ω = √(C / I)
    

Time period:

T = 2π √(I / C)
    

3. Compound Pendulum क्या है?

Compound pendulum एक rigid body है जो किसी fixed horizontal axis के चारों ओर freely swing करता है। यह simple pendulum का generalized रूप है, जिसमें mass center के बजाय पूरी rigid body का motion consider किया जाता है।

4. Compound Pendulum का Time Period

मान लीजिए:

• m = mass of pendulum
• l = distance between pivot point और center of mass
• I = moment of inertia about pivot point
• g = acceleration due to gravity

Time period का formula:

T = 2π √(I / (m × g × l))
    

अगर हम parallel axis theorem से I निकालें:

I = IG + m × l²
    

जहां I_G = Moment of Inertia about center of mass axis

5. Compound Pendulum की विशेषताएं

• Practical systems जैसे doors, sign boards, और levers में मिलता है
• Length और mass distribution frequency को affect करते हैं
• Center of oscillation concept का use होता है

6. निष्कर्ष

Angular oscillations rotational systems की analysis के लिए महत्वपूर्ण हैं, और compound pendulum इसका एक common example है। दोनों के equations और time period formulas mechanical vibrations और oscillations के study में key role निभाते हैं।