Regular Grammar in Automata | ऑटोमाटा में रेगुलर व्याकरण

Regular Grammar (रेगुलर व्याकरण) ऑटोमाटा सिद्धांत की सबसे सरल और महत्वपूर्ण व्याकरण श्रेणी है। यह Regular Languages को परिभाषित करती है, जिन्हें Finite Automata द्वारा स्वीकार किया जा सकता है। Regular Grammar का उपयोग किसी भाषा के सभी strings को औपचारिक रूप से generate करने के लिए किया जाता है।

परिचय / Introduction

Regular Grammar, Chomsky Hierarchy में सबसे निचले स्तर (Type-3) पर स्थित होती है। यह उन नियमों का समूह है जो Regular Expressions और Finite Automata दोनों के समकक्ष (Equivalent) होते हैं। इसका अर्थ है कि हर Regular Grammar को किसी Finite Automaton में बदला जा सकता है, और इसके विपरीत भी।

1️⃣ Regular Grammar की औपचारिक परिभाषा / Formal Definition

एक Regular Grammar को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

G = (V, T, P, S)

• V → Non-Terminals का सीमित सेट
• T → Terminals का सीमित सेट
• P → Production Rules का सीमित सेट
• S → Start Symbol

Production Rules के प्रकार:

Regular Grammar के नियम दो प्रकार के हो सकते हैं:

1. Right Linear Grammar: A → aB या A → a या A → ε
2. Left Linear Grammar: A → Ba या A → a या A → ε

यदि सभी rules Right Linear हैं तो यह Right Linear Grammar कहलाती है। यदि सभी rules Left Linear हैं तो यह Left Linear Grammar कहलाती है। लेकिन दोनों प्रकार को एक साथ प्रयोग नहीं किया जा सकता।

2️⃣ उदाहरण / Example

Grammar G:

S → aA | bB
A → aA | a
B → bB | b

यह Grammar उन सभी strings को generate करती है जिनमें केवल a या केवल b होते हैं। इसकी language है: L(G) = {aⁿ | n ≥ 1} ∪ {bⁿ | n ≥ 1}

3️⃣ Regular Grammar और Finite Automata का संबंध / Relation Between Regular Grammar and FA

हर Regular Grammar को Finite Automata में परिवर्तित किया जा सकता है और प्रत्येक Finite Automata से Regular Grammar प्राप्त की जा सकती है। यह दोनों Computationally Equivalent हैं।

Conversion Rule (Grammar → FA):

• प्रत्येक Non-terminal → FA में एक State बनती है।
• Production A → aB → State A से a पर B में ट्रांज़िशन।
• Production A → a → State A से Final State पर a ट्रांज़िशन।
• Start Symbol → Start State।

Conversion Rule (FA → Grammar):

• हर state को एक Non-terminal मानें।
• Transition qᵢ --a--> qⱼ ⇒ Production: Aᵢ → aAⱼ
• Final State ⇒ ε Production

उदाहरण:

FA with states {q₀, q₁}, Σ = {a}, q₀ = Start, q₁ = Final, transitions: q₀ --a--> q₁

Equivalent Grammar:

S → aA
A → ε

4️⃣ Regular Grammar की विशेषताएँ / Properties

• यह Regular Languages को परिभाषित करती है।
• हर Regular Grammar को Regular Expression द्वारा दर्शाया जा सकता है।
• Finite Automata और Regular Grammar के बीच 1-to-1 संबंध होता है।
• Left और Right Linear Grammar दोनों Regular Grammar के रूप हैं।

5️⃣ Regular Grammar और Context-Free Grammar में अंतर

Feature	Regular Grammar	Context-Free Grammar
Form	A → aB | a	A → α (α = any string of terminals/non-terminals)
Recognized By	Finite Automata	Pushdown Automata
Complexity	Simple	More Complex
Language Power	Regular	Context-Free

6️⃣ Regular Grammar का उपयोग / Applications

• Lexical Analysis (Token Formation in Compilers)
• Regular Expression Matching
• String Pattern Identification
• Simple Syntax Design in Programming Languages

7️⃣ Regular Grammar के लाभ / Advantages

• सरल और कुशल computation।
• Finite Automata के समान समझने योग्य संरचना।
• Implementation आसान।

8️⃣ सीमाएँ / Limitations

• Nested या Recursive संरचनाओं को represent नहीं कर सकती।
• Balanced parentheses जैसी भाषाएँ उत्पन्न नहीं कर सकती।

निष्कर्ष / Conclusion

Regular Grammar ऑटोमाटा सिद्धांत की सबसे सरल लेकिन सबसे उपयोगी व्याकरण श्रेणी है। यह Finite Automata के समान कार्य करती है और हर Regular Expression के लिए Regular Grammar मौजूद होती है। कंपाइलर डिज़ाइन, सॉफ्टवेयर इंजीनियरिंग और औपचारिक भाषा विश्लेषण में इसकी भूमिका अत्यंत महत्वपूर्ण है।