Halting Problem and Post Correspondence Problem | हॉल्टिंग समस्या और पोस्ट पत्राचार समस्या

Halting Problem और Post Correspondence Problem (PCP) computation theory में दो ऐसी महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं जो यह सिद्ध करती हैं कि कुछ समस्याएँ algorithmically अनिर्णेय (Undecidable) हैं। इन दोनों समस्याओं के माध्यम से यह समझ आता है कि Turing Machine की computational power की भी सीमाएँ हैं।

1️⃣ परिचय / Introduction

Computation Theory का एक मूल प्रश्न यह है कि क्या हर समस्या को किसी algorithm द्वारा हल किया जा सकता है? इस प्रश्न का उत्तर है — नहीं। कुछ समस्याएँ ऐसी होती हैं जिन्हें कोई भी Turing Machine पूरी तरह से निर्णय नहीं कर सकती। इन्हें Undecidable Problems कहा जाता है। Halting Problem और Post Correspondence Problem इसी श्रेणी में आती हैं।

2️⃣ हॉल्टिंग समस्या क्या है? / What is the Halting Problem?

Halting Problem यह निर्धारित करने की समस्या है कि दी गई Turing Machine M किसी input w पर रुकती (halt करती) है या नहीं।

Mathematically:

HALT = { ⟨M, w⟩ | Turing Machine M halts on input w }

यह एक भाषा है जिसमें सभी ऐसे pairs ⟨M, w⟩ शामिल हैं जिनके लिए M, w पर halt करता है।

3️⃣ Halting Problem की अवधारणा / Concept

Alan Turing ने सिद्ध किया कि कोई भी सामान्य Turing Machine इस समस्या को हल नहीं कर सकती। अर्थात, ऐसा कोई algorithm नहीं बनाया जा सकता जो यह तय करे कि M किसी भी arbitrary input पर halt करेगा या नहीं।

4️⃣ हॉल्टिंग समस्या का प्रमाण / Proof of Undecidability

मान लें कि कोई Turing Machine H(M, w) है जो यह तय कर सकती है कि M w पर halt करेगी या नहीं।

1. यदि H(M, w) कहती है “halts” → M रुकती है।
2. यदि H(M, w) कहती है “loops” → M कभी नहीं रुकती।

अब एक नई Machine D बनाई जाती है जो इस प्रकार काम करती है:

D(M):
  if H(M, M) == “halts”
      loop forever
  else
      halt

अब यदि हम D(D) चलाएँ —

• यदि H(D, D) “halts” कहे → D loop करेगी (contradiction)
• यदि H(D, D) “loops” कहे → D halt करेगी (contradiction)

इस प्रकार, यह साबित हो गया कि कोई भी algorithm (या Turing Machine) यह तय नहीं कर सकती कि कोई arbitrary machine halt करेगी या नहीं। इसलिए Halting Problem Undecidable है।

5️⃣ हॉल्टिंग समस्या का महत्व / Importance

• यह algorithmic computation की सीमाएँ निर्धारित करती है।
• यह undecidability की अवधारणा की नींव रखती है।
• Halting Problem के आधार पर अन्य undecidable समस्याएँ सिद्ध की जाती हैं।

6️⃣ Post Correspondence Problem (PCP) क्या है? / What is Post Correspondence Problem?

Post Correspondence Problem (PCP) एक undecidable समस्या है जिसे Emil Post ने 1946 में प्रस्तुत किया था। यह समस्या यह जांचती है कि क्या दिए गए दो string lists (A और B) को इस प्रकार rearrange किया जा सकता है कि उनके concatenations समान हो जाएँ।

Formal Definition:

Given two lists:

A = [a₁, a₂, ..., aₙ]
B = [b₁, b₂, ..., bₙ]

क्या कोई sequence i₁, i₂, ..., iₖ (जहाँ 1 ≤ i ≤ n) ऐसी है कि:

a_{i₁}a_{i₂}...a_{iₖ} = b_{i₁}b_{i₂}...b_{iₖ}

यदि ऐसी sequence मौजूद है, तो PCP solvable है; अन्यथा, नहीं।

7️⃣ PCP का उदाहरण / Example

मान लें:

A = [a, ab, baa]
B = [ab, a, aa]

अब यदि हम sequence i₁ = 1, i₂ = 2 लें, तो हमें मिलता है:

a₁a₂ = a(ab) = aab
b₁b₂ = (ab)(a) = aba

यह match नहीं करते। अलग-अलग combinations को जाँचने पर यह पाया जाता है कि कोई भी sequence ऐसी नहीं है जिससे दोनों concatenations समान हों। इसलिए यह PCP unsolvable है।

8️⃣ PCP की Un-decidability / Undecidability Proof

• Post ने दिखाया कि कोई general algorithm नहीं है जो यह निर्धारित कर सके कि किसी PCP instance का समाधान मौजूद है या नहीं।
• इस समस्या को Turing Machine halting problem से reduce किया जा सकता है, इसलिए यह undecidable है।

9️⃣ Halting Problem और PCP का संबंध / Relationship

• दोनों undecidable problems हैं।
• Halting Problem को PCP में transform किया जा सकता है।
• दोनों यह दर्शाती हैं कि कुछ computational प्रश्नों का algorithmic समाधान असंभव है।

🔟 निष्कर्ष / Conclusion

Halting Problem और Post Correspondence Problem computation theory की सबसे बुनियादी undecidable समस्याएँ हैं। इनके माध्यम से यह सिद्ध होता है कि हर समस्या का algorithmic समाधान संभव नहीं है। यह computation की सीमाओं और algorithmic complexity को समझने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं।