Conversion of NDFA to DFA | एनडीएफए से डीएफए में रूपांतरण

Non-Deterministic Finite Automata (NDFA) और Deterministic Finite Automata (DFA) दोनों ही नियमित भाषाओं (Regular Languages) को पहचानने में सक्षम हैं। लेकिन NDFA में एक इनपुट पर कई संभावित अवस्थाएँ (states) हो सकती हैं, जबकि DFA में केवल एक निश्चित अवस्था होती है। इसलिए NDFA को कंप्यूटर में लागू करने (implement) के लिए इसे DFA में रूपांतरित करना आवश्यक होता है।

परिचय / Introduction

NDFA में ट्रांज़िशन अनिश्चित होते हैं — एक इनपुट पर मशीन कई अवस्थाओं में जा सकती है या कोई ट्रांज़िशन न भी हो सकता है। DFA में प्रत्येक इनपुट और प्रत्येक अवस्था के लिए केवल एक ही निश्चित अगली अवस्था (Next State) होती है। इस रूपांतरण की प्रक्रिया को Subset Construction Method या Power Set Construction कहा जाता है।

1️⃣ रूपांतरण का उद्देश्य / Purpose of Conversion

• NDFA को hardware या software में लागू करने के लिए इसे DFA में बदलना आवश्यक होता है।
• DFA में प्रत्येक इनपुट पर एक ही आउटपुट होता है — जिससे computation आसान होता है।
• NDFA के parallel nature को sequential determinism में बदला जाता है।

2️⃣ Subset Construction Method / उपसमुच्चय निर्माण विधि

यह रूपांतरण NDFA के सभी states के subsets बनाकर उन्हें DFA की states के रूप में मानता है।

NDFA की परिभाषा:

M = (Q, Σ, δ, q₀, F)

DFA की परिभाषा:

M’ = (Q’, Σ, δ’, q₀’, F’)

जहाँ:

• Q’ = P(Q) (NDFA के states का Power Set)
• q₀’ = ε-closure(q₀)
• δ’(S, a) = Union of all δ(q, a) for q ∈ S
• F’ = {S | S ∩ F ≠ ∅}

3️⃣ रूपांतरण के चरण / Steps of Conversion

1. NDFA के सभी states और transitions की पहचान करें।
2. NDFA की initial state से ε-closure निकालें (यदि ε-transitions हैं)।
3. हर input symbol के लिए सभी संभावित next states का union करें।
4. इन सभी combinations को DFA की नई states के रूप में मानें।
5. प्रत्येक नई state के लिए transitions को दोहराएँ जब तक सभी covered न हो जाएँ।
6. जिन states में कोई final state शामिल है, वे DFA में final state होंगी।

4️⃣ उदाहरण / Example

NDFA:

States: Q = {q₀, q₁, q₂}
Alphabet: Σ = {0, 1}
Start: q₀
Final: {q₂}
Transition:
δ(q₀, 0) = {q₀, q₁}
δ(q₀, 1) = {q₀}
δ(q₁, 1) = {q₂}

Step-by-step Conversion:

DFA State	Input 0	Input 1
{q₀}	{q₀, q₁}	{q₀}
{q₀, q₁}	{q₀, q₁}	{q₀, q₂}
{q₀, q₂}	{q₀, q₁}	{q₀}

Final States:

क्योंकि q₂ ⊆ {q₀, q₂}, इसलिए {q₀, q₂} एक final state होगी।

Transition Diagram Summary:

• q₀ → {q₀, q₁} (on 0)
• {q₀, q₁} → {q₀, q₂} (on 1)

5️⃣ DFA की अंतिम परिभाषा / Final DFA Representation

M’ = (Q’, Σ, δ’, q₀’, F’)

• Q’ = {{q₀}, {q₀, q₁}, {q₀, q₂}}
• Σ = {0, 1}
• q₀’ = {q₀}
• F’ = {{q₀, q₂}}

6️⃣ Conversion Rules Summary

NDFA Element	DFA Equivalent
States	All subsets of NDFA states
Start State	ε-closure of NDFA start state
Transition	Union of all NDFA transitions
Final States	Sets containing NDFA final states

7️⃣ लाभ और उपयोग / Advantages and Uses

• DFA deterministic behavior प्रदान करता है।
• Hardware implementation में सरल।
• NDFA का theoretical model व्यावहारिक रूप में बदल जाता है।

8️⃣ सीमाएँ / Limitations

• States की संख्या exponential रूप से बढ़ सकती है।
• बड़ी मशीनों के लिए यह memory intensive हो सकता है।

निष्कर्ष / Conclusion

NDFA से DFA में रूपांतरण Automata Theory की एक मूलभूत प्रक्रिया है। यह अनिश्चित मशीनों को निश्चित रूप में बदलता है जिससे Regular Languages को सटीक रूप से पहचाना जा सके। Subset Construction विधि इस रूपांतरण का आधार है और यह DFA की computational power को NDFA के समान बनाती है।