Heat Equation in Rectangular, Cylindrical और Spherical Coordinates | हिंदी में समझें

Heat conduction problems को solve करने के लिए Fourier Heat Conduction Equation का उपयोग किया जाता है। लेकिन practical engineering problems में geometry के आधार पर coordinate systems change होते हैं। इसलिए heat conduction equation को तीन main coordinate systems में express किया जाता है: Rectangular (Cartesian), Cylindrical और Spherical.

1. Heat Equation in Rectangular (Cartesian) Coordinates

अगर हम heat transfer को x, y, z directions में analyze करते हैं, तो Fourier equation इस प्रकार होती है:

∂T/∂t = α ( ∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² + ∂²T/∂z² ) + q_gen / (ρ·c)

जहाँ:
T = Temperature (K)
α = Thermal diffusivity (k / ρc)
q_gen = Internal heat generation (W/m³)

अगर heat transfer केवल x-direction में हो रहा हो (1D conduction), तो equation simplify हो जाती है:

∂T/∂t = α ( ∂²T / ∂x² )

2. Heat Equation in Cylindrical Coordinates

Cylindrical coordinates का उपयोग तब किया जाता है जब geometry cylindrical symmetry रखती हो, जैसे कि pipes, rods, boilers, या heat exchangers। Cylindrical coordinates में variables होते हैं: r, θ, z.

Cylindrical heat conduction equation इस प्रकार होती है:

∂T/∂t = α [ (1/r) ∂/∂r ( r ∂T/∂r ) + (1/r²) ∂²T/∂θ² + ∂²T/∂z² ] + q_gen / (ρ·c)

अगर temperature θ और z पर depend नहीं करता, यानी radial conduction only हो, तो equation simplify होती है:

∂T/∂t = α [ (1/r) ∂/∂r ( r ∂T/∂r ) ]

यह formula hollow cylinders, pipe walls, और insulated rods के temperature distribution निकालने में useful है।

3. Heat Equation in Spherical Coordinates

Spherical coordinates का उपयोग तब किया जाता है जब geometry spherical हो, जैसे कि ball bearings, nuclear fuel pellets, planets या spherical reactors। Spherical coordinates में variables होते हैं: r, θ, φ.

Spherical heat conduction equation इस प्रकार होती है:

∂T/∂t = α [ (1/r²) ∂/∂r ( r² ∂T/∂r ) + (1/(r²sinθ)) ∂/∂θ ( sinθ ∂T/∂θ ) + (1/(r²sin²θ)) ∂²T/∂φ² ] + q_gen / (ρ·c)

अगर temperature केवल radius r पर depend करता है (purely radial conduction), तो equation simplify हो जाती है:

∂T/∂t = α [ (1/r²) ∂/∂r ( r² ∂T/∂r ) ]

Comparison of Heat Equations

Coordinate System	Variables	General Heat Equation
Rectangular	x, y, z	∂T/∂t = α(∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² + ∂²T/∂z²)
Cylindrical	r, θ, z	∂T/∂t = α[(1/r)∂/∂r(r∂T/∂r)+(1/r²)∂²T/∂θ²+∂²T/∂z²]
Spherical	r, θ, φ	∂T/∂t = α[(1/r²)∂/∂r(r²∂T/∂r)+(1/(r²sinθ))∂/∂θ(sinθ∂T/∂θ)+(1/(r²sin²θ))∂²T/∂φ²]

Applications

1. Rectangular Coordinates: Heat transfer in walls, slabs, और plates.

2. Cylindrical Coordinates: Pipes, boilers, nuclear fuel rods, और heat exchangers.

3. Spherical Coordinates: Ball bearings, reactors, planetary cooling systems, और fuel pellets.

Conclusion

Heat conduction problems में सही coordinate system चुनना बहुत महत्वपूर्ण है। Rectangular, cylindrical और spherical coordinates में heat equation की understanding से हम temperature distribution और heat transfer rate को accurately calculate कर सकते हैं।