Force Method क्या है? | Matrix Analysis of Structures Explained in Hindi

Force Method (जिसे Flexibility Method भी कहा जाता है) एक classical और matrix-based approach है जिसका उपयोग statically indeterminate structures का analysis करने के लिए किया जाता है। इस method में structure के internal forces (redundant reactions) को unknown माना जाता है और उन्हें equilibrium एवं compatibility conditions से solve किया जाता है।

Force Method सबसे पहले Maxwell और Mohr द्वारा विकसित किया गया था, और बाद में इसे matrix form में विकसित करके computational analysis में प्रयोग किया जाने लगा।

Force Method का मूल सिद्धांत (Basic Principle of Force Method)

इस method में structure को पहले statically determinate structure में बदला जाता है, और फिर redundant forces को variables के रूप में मानकर compatibility equations बनाई जाती हैं।

इसका मुख्य सिद्धांत है:

• [Δ] = Displacement Vector (known or zero displacements)
• [F] = Flexibility Matrix (structure की flexibility दर्शाती है)
• [P] = Redundant Force Vector (unknown forces)

Compatibility condition के अनुसार structure के सभी joints और members के displacements compatible होने चाहिए। इस principle से equations तैयार कर unknown forces प्राप्त की जाती हैं।

Force Method की मुख्य Steps (Step-by-Step Procedure)

1. Structure के indeterminacy degree को determine करें।
2. Redundant reactions या internal forces को unknowns के रूप में चुनें।
3. Structure को statically determinate form में convert करें (redundants हटाकर)।
4. Unit load method से flexibility coefficients (f_ij) निकालें।
5. Compatibility equations तैयार करें:

   Δ + [F][P] = 0

6. Unknown redundant forces [P] को solve करें।
7. Redundant forces प्राप्त करने के बाद support reactions, moments और shears निकालें।

Flexibility Matrix [F] की व्याख्या

Flexibility matrix वह matrix है जो किसी structure में unit load लगाने पर उत्पन्न displacements को दर्शाती है।

यदि structure पर n redundant forces हैं, तो flexibility matrix का आकार n × n होगा।

Matrix Element	Physical Meaning
fii	Unit load Pi के कारण displacement at coordinate i
fij	Unit load Pj के कारण displacement at coordinate i

Force Method की प्रमुख विशेषताएँ (Key Features)

• यह एक force-based method है जहाँ redundants unknown होते हैं।
• Structure को statically determinate form में simplify किया जाता है।
• Equilibrium equations और compatibility conditions दोनों का उपयोग किया जाता है।
• Matrix form में representation आसान और systematic होती है।

Force Method का Mathematical Form

Compatibility equation को matrix form में लिखा जा सकता है:

जहाँ [Δ₀] = external loads के कारण उत्पन्न displacements।

Force Method का उदाहरण (Example)

एक fixed beam AB जिसकी span L = 6 m है और mid-span पर load W = 30 kN लगाया गया है। Beam statically indeterminate है क्योंकि इसमें दो supports पर fixity reactions हैं।

Redundant को एक end moment (M_B) माना जाए।

1. Determinate beam (simply supported) में load W के कारण deflection निकालें।
2. Unit moment (1 kNm) लगाने पर slope और deflection निकालें।
3. Flexibility coefficient f₁₁ = rotation due to 1 kNm load।
4. Compatibility equation: θ_B = 0 = (deflection due to W) + f₁₁M_B
5. इससे M_B = –(Δ₀/f₁₁) निकलता है।

Force Method के लाभ (Advantages)

• Statically indeterminate structures के लिए उपयुक्त।
• Conceptually simple और physical interpretation स्पष्ट।
• Trusses, beams और frames सभी पर लागू।
• Matrix representation के कारण systematic solution।

Force Method की सीमाएँ (Limitations)

• Large indeterminacy वाले structures के लिए tedious।
• Displacement compatibility conditions को manually set करना कठिन।
• Flexibility coefficients निकालना समय-साध्य।

Force Method और Stiffness Method में अंतर

Basis	Force Method (Flexibility Method)	Stiffness Method (Displacement Method)
Primary Unknown	Redundant Forces	Nodal Displacements
Matrix Type	Flexibility Matrix	Stiffness Matrix
Best Suitable For	Structures with low indeterminacy	Structures with high indeterminacy
Equilibrium/Compatibility	Uses Compatibility	Uses Equilibrium
Application	Trusses, small frames	Computer-based analysis

Conclusion

Force Method या Flexibility Method structural analysis की सबसे पुरानी और conceptually clear विधियों में से एक है। यह method उन structures के लिए उपयुक्त है जहाँ redundants की संख्या सीमित होती है। इसकी matrix form ने modern computational methods जैसे Stiffness Method और Finite Element Method की नींव रखी है।