Displacement Method क्या है? | Matrix Formulation in Hindi


Displacement Method क्या है? | Matrix Formulation Explained in Hindi

Displacement Method (जिसे Stiffness Method भी कहा जाता है) आधुनिक Matrix Analysis of Structures की सबसे महत्वपूर्ण विधि है। इस method में structure के joints (nodes) पर होने वाले displacements को unknown माना जाता है और इन्हीं displacements से internal forces और reactions निकाले जाते हैं।

यह method computer-based analysis (जैसे STAAD.Pro, ETABS, SAP2000 आदि) की foundation है क्योंकि यह systematically stiffness matrix बनाकर equations को solve करने में सहायता करती है।

Displacement Method का मूल सिद्धांत (Basic Principle of Displacement Method)

इस method का मूल सिद्धांत equilibrium, compatibility और force-displacement relationships पर आधारित है।

[F] = [K][Δ]

  • [F] = External force vector (Applied loads)
  • [K] = Global stiffness matrix (Structure की rigidity दर्शाती है)
  • [Δ] = Displacement vector (Unknown nodal displacements और rotations)

इस equation को solve करने पर सभी nodal displacements प्राप्त होते हैं, जिनसे बाद में reactions और internal member forces निकाले जाते हैं।

Displacement Method के प्रकार (Types of Displacement Methods)

  • 1. Slope Deflection Method: Member end displacements से moments और shears का निर्धारण।
  • 2. Moment Distribution Method: Iterative balancing of moments at joints।
  • 3. Matrix Stiffness Method: Modern and fully systematic form suitable for computers।

Matrix Formulation of Displacement Method

Matrix Formulation इस method को computationally efficient बनाती है। इसमें structural system को nodes और members में विभाजित करके प्रत्येक member की stiffness matrix तैयार की जाती है।

General Equation:

[K]{Δ} = {F}

जहाँ:

  • {Δ} = Vector of nodal displacements
  • {F} = Vector of applied loads
  • [K] = Global stiffness matrix of the structure

Step-by-Step Procedure for Matrix Formulation

  1. Structure Idealization: Structure को nodes और members में divide करें।
  2. Local Stiffness Matrix: प्रत्येक member के लिए stiffness matrix [k] तैयार करें।
  3. Transformation Matrix: Local coordinate system को global system में बदलें।
  4. Global Stiffness Matrix: सभी members की matrices को assemble करें।
  5. Boundary Conditions: Supports पर displacements को zero करें।
  6. Solving Equations: [K]{Δ} = {F} से displacements निकालें।
  7. Post-Processing: Internal forces और support reactions प्राप्त करें।

Member Stiffness Matrix (Local Coordinate System)

A beam element के लिए stiffness matrix (in local coordinates) इस प्रकार होती है:

[K] = (EI / L³) ×
|  12      6L    -12      6L  |
|  6L     4L²    -6L     2L²  |
| -12     -6L     12     -6L  |
|  6L     2L²    -6L     4L²  |

Global Stiffness Matrix

सभी members की local stiffness matrices को transform और assemble करके एक single global stiffness matrix [Kglobal] बनाई जाती है जो पूरे structure की stiffness को represent करती है।

Transformation Matrix [T]:

Local coordinate system को global coordinates में बदलने के लिए:

[Kglobal] = [T]ᵀ [Klocal] [T]

Boundary Conditions and Solution

Support conditions के अनुसार कुछ displacements zero माने जाते हैं (जैसे fixed support पर translation और rotation दोनों)। इससे reduced stiffness matrix बनती है जिसे solve करके unknown displacements मिलते हैं।

Advantages of Displacement Method

  • Highly suitable for computer programming।
  • Systematic और general approach सभी structures के लिए लागू।
  • Multi-degree of freedom systems के लिए efficient।
  • Static और dynamic दोनों analysis में उपयोगी।

Limitations of Displacement Method

  • Manual calculation जटिल होती है।
  • Matrix assembly और inversion computationally intensive।
  • Programming errors results को प्रभावित कर सकते हैं।

Force Method और Displacement Method में अंतर

Basis Force Method (Flexibility Method) Displacement Method (Stiffness Method)
UnknownsRedundant ForcesJoint Displacements
Matrix TypeFlexibility MatrixStiffness Matrix
Equilibrium UsedCompatibility EquationsEquilibrium Equations
Best Suited ForStructures with low indeterminacyStructures with high indeterminacy
Computational EaseLess suitable for computersHighly suitable for computers

Applications of Displacement Method

  • Beams और frames का 2D/3D analysis।
  • Finite Element Method (FEM) की foundation।
  • High-rise buildings और bridges का dynamic analysis।
  • Earthquake-resistant design में response analysis।

Conclusion

Displacement Method या Stiffness Matrix Method structural analysis की सबसे powerful और widely used technique है। यह method modern engineering design में essential tool है, जो accurate, systematic और computer-friendly results प्रदान करती है। Finite Element Method इसी सिद्धांत पर आधारित है और complex structures के design में इसकी भूमिका अत्यंत महत्वपूर्ण है।

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