Box Frames का Analysis कैसे करें? | Moment Distribution Method in Hindi

Box Frame एक प्रकार का rigid frame होता है जिसमें generally चार या अधिक members मिलकर closed rectangular (या nearly rectangular) shape बनाते हैं — इसे अक्सर portal frame या box section के रूप में भी देखा जाता है। Box frames का उपयोग multi-storey structures, industrial sheds और bridges में होता है। इस लेख में हम Moment Distribution Method (Hardy Cross method) का उपयोग करके step-by-step Box Frame का analysis करेंगे, साथ ही sway (lateral displacement) का प्रभाव भी समझेंगे।

1. Box Frame परिचय और व्यवहार

Box frame में generally vertical columns और horizontal beams होते हैं जो rigid joints पर जुड़े होते हैं। जब frame पर vertical या lateral loads आते हैं तो members में bending moments, shear forces और axial forces उत्पन्न होते हैं। Moment Distribution Method statically indeterminate moments निकालने के लिए एक efficient hand-calculation प्रक्रिया देती है।

2. Analysis के लिए आवश्यक मूल सिद्धांत (Key Concepts)

Fixed End Moments (FEM): Member पर applied loads के कारण fixed-end पर उत्पन्न moments (जब दोनों ends fixed हों)।
Stiffness (K): प्रत्येक member की rotational stiffness — सरल रूप में K = 4EI/L (जब end fixed) और K = 3EI/L (जब one end pinned)।
Distribution Factor (DF): किसी joint पर संबंधित member का stiffness/Σ(stiffness of all members at that joint)।
Carry Over Factor (COF): एक सिरे पर imparted moment का कुछ भाग दूसरे सिरे पर carry over होता है; सामान्यतः COF = 0.5 होता है (prismatic members के लिए)।
Equilibrium at joints: प्रत्येक joint पर moment algebraic sum = 0 (final condition)।

3. Box Frame का Typical Example (Problem Statement)

Consider कीजिए एक single bay, single storey box frame जिसका plan rectangle है — left और right vertical columns (C1, C2) और top और bottom beams (Btop, Bbottom) से बना। Dimensions और loads:

Span (L) of beams = 6.0 m
Height (h) of columns = 4.0 m
Flexural rigidity समान मानें: EI same for all members (for simplicity)
Vertical uniformly distributed load (UDL) w = 20 kN/m on top beam only
Base of columns are fixed (fixed supports)

हम Frame को plane frame मानेंगे और joints rigid हैं। Objective: internal bending moments at all members using Moment Distribution Method.

4. Step-by-step Solution using Moment Distribution

Step 1: Fixed-End Moments (FEM) निकालना

Top beam पर UDL w over span L: Fixed end moments for a beam with UDL and both ends fixed:

FEM at each end = wL^2 / 12  (signs depend on convention)

यहाँ, w = 20 kN/m, L = 6 m → wL^2 = 20 × 36 = 720 kN·m → FEM = 720/12 = 60 kN·m

Top beam के दोनों ends पर fixed end moments = 60 kN·m (हम sign convention में left end hogging positive मानेंगे)।

Step 2: Stiffness (K) और Distribution Factors (DF) निकालना

Prismatic members मानने पर member stiffness (for rotation at joint) के साधारण मान:

For a column (fixed at base and connected to joint): K_column = 3EI/Lc (if bottom fixed and top rigid) — पर सामान्य रूप से column rotational stiffness = 4EI/L for fixed at both ends; यहाँ joints पर रो테शन देखें।
For beam (between two columns): K_beam = 4EI/Lb (for both ends fixed)

यदि सभी members का EI समान हो और Lb = 6 m, Lc = 4 m तो relative stiffnesses:

K_beam = 4EI/6 = (2/3)EI
K_column = 4EI/4 = 1.0 EI

Joint पर involvement के आधार पर DF निकालें। उदाहरण के लिए left top joint पर connected members: left column (Kc) और top beam (Kb).

DF_column = Kc / (Kc + Kb) = 1.0 / (1.0 + 0.667) = 1.0 / 1.667 = 0.60
DF_beam = 0.667 / 1.667 = 0.40

Step 3: Initial Moments (Apply FEM to distribution table)

Start distribution table with all fixed-end moments placed at respective member ends. For top beam ends put +60 (left) and +60 (right). Columns initially have FEM = 0 (unless subjected to direct loads).

Step 4: Distribute at each joint

At left top joint, net unbalanced moment = sum of fixed end moments = +60 (from beam) + 0 (from column) = +60. Distribute using DF:

Column receives = 0.60 × 60 = 36 kN·m (sign opposite)
Beam receives = 0.40 × 60 = 24 kN·m

Carry over half of distributed moments to the far ends of members (COF = 0.5):

Carryover to bottom of left column = 0.5 × 36 = 18 kN·m
Carryover to right end of top beam = 0.5 × 24 = 12 kN·m

इसी प्रकार right top joint पर भी distribution करें। Continue iterative distribution until unbalanced moments at all joints become negligible (or reach desired tolerance)।

Step 5: Combining Carryovers और Final Moments

हर iteration के बाद carryovers दूसरे joints पर unbalanced moment पैदा करेंगे; इन्हें फिर distribute और carryover किया जाएगा। अंत में सभी distributed values को algebraically add करके final moment at each member end प्राप्त कर लेते हैं:

M_final(end) = M_fixed(end) + Σ(M_distributed at that end) + Σ(carryovers)

5. Box Frame के लिए Sway विचार (Frame with Sway)

अगर frame पर lateral load (जैसे wind) लगे तो frame sway करेगा और additional bending moments उत्पन्न होंगे। Moment Distribution में sway को handle करने के दो तरीके होते हैं:

Method of consistent deformations: पहले no-sway moments निकालें, फिर sway के कारण equivalent lateral forces या moments का analysis करें और दोनों परिणाम जोड़ दें।
Direct stiffness approach (modified): joints के horizontal displacement unknowns को include कर के DF और additional equations सेट करें।

Practical hand-calculation के लिए सामान्यतः superposition अपनाई जाती है — vertical loading के moments और sway-induced moments अलग-अलग निकालकर जोड़ दिए जाते हैं।

6. Numerical Example — Summary Result (Illustrative)

ऊपर के simplified example के iterative calculations के बाद (iterations omitted for brevity) final typical moments कुछ इस प्रकार मिल सकते हैं (illustrative values):

Member End	Final Moment (kN·m)
Top Beam — Left End	+18.5
Top Beam — Right End	+18.5
Left Column — Top	-24.0
Left Column — Bottom	+10.5
Right Column — Top	-24.0
Right Column — Bottom	+10.5

ध्यान दें: ये संख्याएँ जहाँ तक illustration के लिए हैं — वास्तविक accurate values iterative distribution table से प्राप्त होंगी।

7. Design और Detailing के लिए Tips

यदि EI समान नहीं है तो stiffnesses proportional to EI/L रखें।
COF और DF का सही उपयोग आवश्यक है — COF = 0.5 आम है पर कुछ end conditions में अलग हो सकता है।
Sway वाली frames के लिए lateral story stiffness और base restraint ध्यान में रखें।
Iterative process के लिए table format का उपयोग करें — यह manual calculation को organized बनाता है।

8. Moment Distribution Table का छोटा Layout (Formatting Suggestion)

Table headings for manual work:

Joint | Member Ends | FEM | Sum Unbalanced | DF (members) | Distributed | Carryover | Running Totals

9. Advantages और Limitations

Advantages: Simple hand method, intermediate results available, suitable for prismatic members और educational calculations।
Limitations: बहुत बड़े multi-bay, multi-storey frames के लिए tedious; variable EI या complex geometry के लिए limited।

10. निष्कर्ष

Box Frames का analysis Moment Distribution Method के द्वारा करना structural engineering में एक fundamental skill है। यह method मंद-गणनात्मक (manual) रूप से statically indeterminate bending moments को निकालने का एक व्यवस्थित तरीका देती है। Sway या lateral effects को शामिल करने के लिए superposition या modified stiffness approach का उपयोग करें। Practically, complex box frames के लिए computer-based stiffness matrix या finite element methods faster और accurate होते हैं — पर concept और verification के लिए Moment Distribution method अति उपयोगी है।

यदि आप चाहें तो मैं इस example का पूरा step-by-step distribution table और प्रत्येक iteration के calculations सहित एक विस्तृत numeric solution भी दे सकता/सकती हूँ।