Un-damped Cam Mechanism का Response कैसे निकाला जाता है? | हिंदी में समझें

Cam–follower सिस्टम में un-damped का मतलब है कि follower पर कोई viscous या hysteretic damping नहीं है — सिर्फ़ mass और stiffness (spring) मौजूद हैं। ऐसे सिस्टम का response निकालने के लिए हम उसे एक single-degree-of-freedom (SDOF) mass–spring model मानकर चलते हैं। नीचे step-by-step समझाया गया है कि किसी दिए हुए cam excitation (displacement या contact force) से follower का motion कैसे निकला जाता है।

1) Model (साधारण मान्यताएँ)

• Follower mass = m
• Spring stiffness (follower or support) = k
• कोई damping नहीं → un-damped system
• Cam द्वारा follower पर समय-dependent force F(t) या prescribed base motion y_c(t) आता है

2) Governing Equation (ODE)

यदि cam से follower पर direct force F(t) आ रहा हो तो mass–spring ODE होगा:

m x''(t) + k x(t) = F(t)

Natural frequency: ωn = √(k / m)

अगर cam follower को prescribed displacement y_c(t) (base excitation / support motion) दे रहा है, तो relative coordinate u(t)=x(t)-y_c(t) के लिए:

m u''(t) + k u(t) = - m y_c''(t)

3) सामान्य हल (General solution)

Un-damped linear ODE का सामान्य हल =

x(t) = x_h(t) + x_p(t)

जहाँ homogeneous (free) solution:

x_h(t) = A cos(ω_n t) + B sin(ω_n t)

और particular solution forcing पर निर्भर करेगा। Constants A,B initial conditions से तय होते हैं: x(0)=x₀, x'(0)=v₀.

4) Duhamel / Convolution Integral (General forcing के लिए)

किसी भी समय-varying force F(t) के लिए exact causal solution (zero initial conditions के लिए) Duhamel integral से मिलता है:

x(t) = x_h(t) + (1 / (m ω_n)) ∫₀ᵗ F(τ) · sin[ ω_n (t − τ) ] dτ
    

General initial conditions के साथ:

x(t) = A cos ω_n t + B sin ω_n t + (1/(m ω_n)) ∫₀ᵗ F(τ) sin[ω_n (t−τ)] dτ
    

5) यदि forcing harmonic हो — closed form

मान लीजिये F(t) = F₀ sin(Ω t) (cam से approximate harmonic component) और initial conditions zero हों। तब particular solution steady form:

x_p(t) = (F₀ / (m (ω_n² − Ω²))) · sin(Ω t)  ,  अगर Ω ≠ ω_n
    

यदि Ω → ω_n (resonance) और damping = 0, तो amplitude theoretically unbounded (linearly growing transient)। Practically small damping or nonlinear effects limit amplitude — इसलिए undamped resonance dangerous है।

6) Cam–follower specific steps (practical procedure)

1. Cam profile और speed लें: cam radius/function r(θ) या follower prescribed motion y_c(t). Cam rotational speed = Ω_c (rad/s) और θ = Ω_c t.
2. Contact geometry से contact force निकालें: यदि follower constrained by spring, contact force ≈ k·(x − y_c) (या reaction when in contact), या pressure angle से normal/tangential components से F(t) compute करें.
3. System parameters लें: m, k → ω_n = √(k/m).
4. ODE लिखें: m x'' + k x = F(t) (या m u'' + k u = −m y_c''(t) अगर base excitation).
5. Analytical या numerical हल चुनें: – छोटे analytically solvable forcing (sinusoids, step, impulse) के लिए closed forms; अन्यथा numerical integration (Newmark, Runge-Kutta) उपयोग करें।
6. यदि interest steady periodic response में है: Fourier series से F(t) expand करें और हर harmonic का particular response superpose करें (linearity के कारण)।

7) Example (हाइलाइटed, simplified)

मान लीजिए cam excitation का प्रमुख component harmonic है: y_c(t) = Y₀ sin(Ω t) और follower spring support है → equivalent forcing = −m y_c''(t) = m Y₀ Ω² sin(Ω t). फिर

u'' + ω_n² u = − Y₀ Ω² sin(Ω t)
⇒ Particular: u_p(t) = − Y₀ Ω² / (ω_n² − Ω²) · sin(Ω t)   (Ω ≠ ω_n)
    

Total displacement = x = u + y_c. ध्यान दें: यदि Ω = ω_n → resonance (undamped) → growth in response (theoretically unbounded).

8) Resonance & Practical implications

• Undamped system में resonance पर amplitude बहुत बड़ी हो सकती है — fatigue, loss of contact या damage हो सकता है।
• Real systems में थोड़ा damping, nonlinear contact और backlash resonance को सीमित करते हैं।
• Cam design में harmful Fourier components (near ω_n) से बचना चाहिए — सतह smoothness, acceleration limits और cam speed selection उपयोगी है।

9) Numerical approach (recommended for real cams)

यदि F(t) या y_c(t) complex है तो numerical time-integration advisable है:

1. Discretize time t₀..t_final with Δt small (≤ 1/20 of smallest period).
2. Solve m x'' + k x = F(t) using RK4 या Newmark-β (commonly used for structural dynamics).
3. Extract peak amplitudes, contact forces, and check loss of contact conditions (if follower lifts off when reaction < 0).

10) Quick Practical Tips (संक्षेप)

• Cam speed बदलकर (Ω_c) देखें — resonance avoidance के लिए design speed जो ω_n से बहुत अलग हो।
• Fourier analysis करें: cam lift waveform के प्रमुख harmonics खोजें।
• Initial conditions matter: start-up transients में large responses आ सकते हैं।
• यदि contact loss संभव हो तो unilateral constraints (impact, stick-slip) के लिए special solvers चाहिए।

निष्कर्ष

Un-damped cam mechanism का response निकालने का सबसे सही तरीका है: model को SDOF mass-spring के रूप में लिखें, forcing (या base motion) को सही से derive करें, और फिर analytical (Duhamel / harmonic formula) या numerical (time-integration) method से समाधान निकालें। खास बात: undamped resonance से सावधान रहें — practical designs में थोड़ी damping या cam गुण बदलकर इस खतरे को कम किया जाता है।