Relation in Discrete Structure

Relation in Discrete Structure – Definition, Types, Composition, Pictorial Representation, Equivalence Relation, Partial Ordering Relation

Relation (संबंध) दो Sets के तत्वों के बीच एक विशेष प्रकार के संबंध को दर्शाता है। यह Discrete Mathematics का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है, जिसका उपयोग गणितीय संरचनाओं और डेटा मॉडलिंग में किया जाता है।

Relation की परिभाषा (Definition of Relation)

Relation को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है – "Relation दो Sets A और B के Ordered Pairs का एक Set होता है।" इसे निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:

R ⊆ A × B

जहां A और B दो Sets हैं, और A × B उनका Cartesian Product है। Relation R का प्रत्येक तत्व (a, b) है, जहां a ∈ A और b ∈ B।

Types of Relation (संबंधों के प्रकार)

Relations को उनके गुणों के आधार पर विभिन्न प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है:

Reflexive Relation (परावर्ती संबंध): किसी Set A के प्रत्येक तत्व का स्वयं से संबंध होता है।
उदाहरण: यदि A = {1, 2, 3}, तो R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
Symmetric Relation (सममित संबंध): यदि (a, b) ∈ R है, तो (b, a) भी R में होगा।
उदाहरण: R = {(1, 2), (2, 1)}
Transitive Relation (पारगमन संबंध): यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R, तो (a, c) भी R में होगा।
उदाहरण: R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}
Equivalence Relation (समानता संबंध): ऐसा Relation जो Reflexive, Symmetric और Transitive तीनों गुणों को पूरा करता है। यह समानता (equivalence) को दर्शाता है।
Anti-symmetric Relation (प्रतिसममित संबंध): यदि (a, b) ∈ R और (b, a) ∈ R, तो a = b होना चाहिए।

Composition of Relations (Relations का संयोग)

Relations का Composition दो Relations के Ordered Pairs का एक नया Set बनाता है। यदि R1 और R2 दो Relations हैं, तो उनका Composition R1 ∘ R2 निम्न प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है:

R1 ∘ R2 = {(a, c) | ∃ b such that (a, b) ∈ R1 and (b, c) ∈ R2}

यह Composite Relation उन Ordered Pairs का Set है, जिसमें पहला तत्व R1 के पहले Set में और अंतिम तत्व R2 के दूसरे Set में है।

Pictorial Representation of Relation (Relation का चित्रात्मक निरूपण)

Relation को चित्रात्मक रूप में विभिन्न तरीकों से दर्शाया जा सकता है:

Arrow Diagram: इसमें Relation को तत्वों के बीच तीरों (arrows) द्वारा दर्शाया जाता है।
Matrix Representation: Relation को Matrix के रूप में दिखाया जा सकता है। यदि A के i-th और B के j-th तत्व के बीच संबंध है, तो m[i][j] = 1 अन्यथा 0।
Graph Representation: Directed Graph (Digraph) के रूप में Relation को दर्शाया जा सकता है।

Equivalence Relation (समानता संबंध)

Equivalence Relation ऐसा Relation होता है जो तीन गुणों को पूरा करता है – Reflexive, Symmetric और Transitive। यह समानता (Equivalence) को दर्शाता है।

उदाहरण: Set A = {1, 2, 3}, Relation R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} Reflexive, Symmetric और Transitive है, इसलिए यह एक Equivalence Relation है।

Partial Ordering Relation (आंशिक क्रम संबंध)

Partial Ordering Relation ऐसा Relation है जो Reflexive, Anti-symmetric और Transitive गुणों को पूरा करता है। इसे Poset (Partially Ordered Set) के रूप में भी जाना जाता है।

उदाहरण: यदि A = {1, 2, 3} और Relation R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3)}, तो यह Partial Ordering Relation होगा।

निष्कर्ष (Conclusion)

Relation Discrete Structure का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। यह दो Sets के बीच संबंध को परिभाषित करने और उसे विभिन्न तरीकों से निरूपित करने में सहायक है। Types of Relation, Composition of Relations, Equivalence Relation, और Partial Ordering Relation की समझ गणित और कंप्यूटर साइंस में समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है।