Euler Path and Euler Circuit in Discrete Mathematics in Hindi – Definition, Conditions, and Examples


Euler Path and Euler Circuit क्या हैं?

Graph Theory में Euler Path और Euler Circuit दो महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं। इनका उपयोग Graph में मौजूद Paths और Circuits को समझने के लिए किया जाता है। इन दोनों अवधारणाओं का नाम प्रसिद्ध गणितज्ञ Leonhard Euler के नाम पर रखा गया है।

Euler Path की परिभाषा (Definition of Euler Path)

Euler Path एक ऐसा Path है, जो Graph की प्रत्येक Edge को केवल एक बार Traverse करता है, लेकिन यह Path Closed नहीं होता।

Conditions for Euler Path (Euler Path की पहचान के नियम)

  • Graph Connected होना चाहिए।
  • Euler Path तभी संभव है जब Graph में दो Vertices की Degree Odd हो।
  • Initial और Final Vertices अलग-अलग होंगे।

Example of Euler Path:

नीचे दिए गए Graph में A-B-C-D-A-F एक Euler Path है।

Euler Circuit की परिभाषा (Definition of Euler Circuit)

Euler Circuit एक ऐसा Closed Path है, जो Graph की प्रत्येक Edge को केवल एक बार Traverse करता है और Initial Vertex पर वापस आ जाता है।

Conditions for Euler Circuit (Euler Circuit की पहचान के नियम)

  • Graph Connected होना चाहिए।
  • Euler Circuit तभी संभव है जब Graph के सभी Vertices की Degree Even हो।
  • Initial और Final Vertices समान होते हैं।

Example of Euler Circuit:

नीचे दिए गए Graph में A-B-C-D-A एक Euler Circuit है।

Difference between Euler Path and Euler Circuit

Euler Path Euler Circuit
Graph की प्रत्येक Edge को एक बार Traverse करता है, लेकिन यह Closed नहीं होता। Graph की प्रत्येक Edge को एक बार Traverse करता है और Initial Vertex पर वापस आ जाता है।
Graph में दो Vertices की Degree Odd होनी चाहिए। Graph में सभी Vertices की Degree Even होनी चाहिए।
Initial और Final Vertices अलग हो सकते हैं। Initial और Final Vertices समान होते हैं।

Applications of Euler Path and Circuit

Euler Path और Circuit का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है:

  1. Network Design
  2. Route Planning
  3. Electrical Circuit Analysis
  4. DNA Sequencing
  5. Garbage Collection Routes Optimization

Examples of Euler Path and Circuit in Real Life

  1. Eulerian Circuit: एक Electrical Circuit में प्रत्येक Connection को एक बार Traverse करने के लिए Euler Circuit का उपयोग किया जा सकता है।
  2. Eulerian Path: एक डाकिया को सभी Streets पर एक बार Travel करने के लिए Euler Path का उपयोग करना होगा।

Conclusion

Euler Path और Euler Circuit Graph Theory में महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं। Euler Path उन Paths को दर्शाता है जो सभी Edges को एक बार Traverse करते हैं, जबकि Euler Circuit एक Closed Path होता है। इनकी समझ विभिन्न समस्याओं को हल करने में सहायक होती है, जैसे Network Design और Route Optimization।

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