डीप लर्निंग में डीकम्पोजिशन (Decomposition): PCA और SVD का गहन अध्ययन

डीकम्पोजिशन (Decomposition) गणित और डेटा साइंस का वह क्षेत्र है जहाँ जटिल डेटा या मैट्रिक्स को सरल भागों में विभाजित किया जाता है। डीप लर्निंग में यह प्रक्रिया अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि यह मॉडल को उच्च आयामी (High-Dimensional) डेटा को समझने, संकुचित करने और उसमें मौजूद पैटर्न को पहचानने में मदद करती है।

डीकम्पोजिशन की दो प्रमुख तकनीकें हैं — PCA (Principal Component Analysis) और SVD (Singular Value Decomposition)। ये दोनों तकनीकें डेटा के छिपे हुए पैटर्न्स को खोजने में उपयोग होती हैं।

📘 1️⃣ PCA (Principal Component Analysis) क्या है?

PCA एक सांख्यिकीय तकनीक है जो डेटा के सबसे महत्वपूर्ण आयामों को पहचानती है और बाकी को हटा देती है। यह डेटा को एक नए कोऑर्डिनेट सिस्टम में रूपांतरित करती है जहाँ पहला अक्ष (Principal Component) डेटा की सबसे अधिक वैरिएंस को दर्शाता है।

🧮 PCA की गणितीय प्रक्रिया:

1. डेटा को सेंटर करें (Mean = 0 करें)।
2. Covariance Matrix निकालें:

   Σ = (1/n) * (XᵀX)

3. Eigenvalues और Eigenvectors प्राप्त करें।
4. सबसे बड़े Eigenvalues वाले Eigenvectors चुनें — यही Principal Components कहलाते हैं।
5. डेटा को इन Principal Components पर प्रोजेक्ट करें।

इस प्रक्रिया के बाद हमें डेटा का Low-Dimensional Representation मिलता है जो जानकारी को अधिकतम रूप से संजोए रखता है।

📈 उदाहरण:

मान लीजिए हमारे पास छात्रों के दो फीचर्स हैं — गणित और विज्ञान के अंक। यदि दोनों में 90% सहसंबंध है, तो PCA इन दोनों को एक नए अक्ष में जोड़ देगा जो अधिकतम वैरिएंस को दर्शाएगा। इस प्रकार एक फीचर कम हो जाएगा लेकिन सूचना लगभग समान रहेगी।

📗 PCA के लाभ:

• डेटा का डाइमेंशन घटाता है।
• Noise और Redundancy कम करता है।
• Visualization और Interpretation आसान बनाता है।
• Training समय घटाता है।

⚠️ सीमाएँ:

• Non-linear संबंधों को नहीं पहचान पाता।
• डेटा को स्केल करना आवश्यक है।
• व्याख्या (Interpretation) कठिन हो सकती है।

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📘 2️⃣ SVD (Singular Value Decomposition) क्या है?

SVD एक मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन तकनीक है जो किसी भी Matrix X को तीन मैट्रिक्सों में विभाजित करती है:

X = U Σ Vᵀ

• U: Left Singular Vectors (Column Space दर्शाता है)
• Σ: Singular Values (Variance या Strength दर्शाती हैं)
• Vᵀ: Right Singular Vectors (Row Space दर्शाता है)

🧩 SVD की प्रक्रिया:

1. डेटा मैट्रिक्स X लें।
2. Eigen Decomposition करें:

   XᵀX और XXᵀ से Eigenvectors प्राप्त करें।

3. Singular Values निकालें (√Eigenvalues)।
4. U, Σ, Vᵀ मैट्रिक्स बनाएँ।

🧠 PCA और SVD का संबंध:

यदि डेटा पहले से Mean-Centered है, तो PCA को SVD के माध्यम से निकाला जा सकता है।

X = U Σ Vᵀ → Cov(X) = V Σ² Vᵀ

इसलिए PCA के Principal Components वास्तव में V के कॉलम्स (Right Singular Vectors) होते हैं।

📊 वास्तविक अनुप्रयोग:

• Image Compression: SVD से केवल शीर्ष-k Singular Values रखकर इमेज का आकार घटाया जा सकता है।
• Latent Semantic Analysis (LSA): टेक्स्ट डेटा में SVD शब्दों और दस्तावेजों के बीच संबंध निकालता है।
• Recommendation Systems: Netflix और Amazon जैसी कंपनियाँ SVD का उपयोग उपयोगकर्ता की पसंद भविष्यवाणी के लिए करती हैं।

🧮 उदाहरण:

मान लीजिए हमारे पास 3×3 डेटा मैट्रिक्स X है:

X = [[1, 0, 0],
     [0, 1, 0],
     [0, 0, 1]]

इसका SVD होगा: U=I, Σ=I, Vᵀ=I → क्योंकि यह पहले से Orthogonal है। लेकिन यदि डेटा जटिल है, तो केवल शीर्ष Singular Values रखकर जानकारी संकुचित की जा सकती है।

🚀 डीप लर्निंग में उपयोग:

• Weight Compression: बड़े मॉडल्स के वेट्स को SVD से छोटा किया जा सकता है।
• Feature Extraction: PCA या SVD से नेटवर्क के Intermediate Representations को सरल बनाया जाता है।
• Preprocessing Step: इनपुट डेटा को PCA से पहले नॉर्मलाइज किया जाता है ताकि ट्रेनिंग स्थिर रहे।

📘 Kernel PCA (Non-linear Extension):

Kernel PCA, PCA का उन्नत संस्करण है जो Non-linear डेटा संबंधों को Kernel Functions (जैसे Gaussian Kernel) के माध्यम से पकड़ता है। यह जटिल डेटा जैसे इमेज या टेक्स्ट के लिए उपयोगी है।

📙 निष्कर्ष:

PCA और SVD डीप लर्निंग और डेटा साइंस दोनों के लिए आधारशिला हैं। ये तकनीकें उच्च आयामी डेटा में छिपे पैटर्न्स को उजागर करती हैं और मॉडल्स को अधिक समझदार और कुशल बनाती हैं। 2025 में, जब डेटा का आकार एक्साबाइट्स में होगा, तो PCA और SVD जैसी तकनीकें डेटा को कुशलतापूर्वक संकुचित और विश्लेषित करने में और भी अधिक उपयोगी होंगी।